Номер 56, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.56. Найдите сумму корней уравнения

$(26 + 15\sqrt{3})^x - 5(7 + 4\sqrt{3})^x + 6(2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 5.$

Для решения уравнения $(26 + 15\sqrt{3})^x - 5(7 + 4\sqrt{3})^x + 6(2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 5$ необходимо заметить, что все основания степеней связаны между собой и являются степенями одного и того же числа.

Пусть основание $a = 2 + \sqrt{3}$. Тогда выразим остальные основания через $a$:

• $2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2^2 - (\sqrt{3})^2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4-3}{a} = \frac{1}{a} = a^{-1}$
• $7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = a^2$
• $26 + 15\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \sqrt{3} + 3 \cdot 2 (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = (2 + \sqrt{3})^3 = a^3$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(a^3)^x - 5(a^2)^x + 6(a)^x + (a^{-1})^x = 5$

$(a^x)^3 - 5(a^x)^2 + 6a^x + \frac{1}{a^x} = 5$

Произведем замену переменной. Пусть $t = a^x = (2 + \sqrt{3})^x$. Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то и $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t^3 - 5t^2 + 6t + \frac{1}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$) и перенесем все слагаемые в левую часть:

$t^4 - 5t^3 + 6t^2 + 1 = 5t$

$t^4 - 5t^3 + 6t^2 - 5t + 1 = 0$

Мы получили возвратное уравнение четвертой степени. Так как $t=0$ не является корнем, мы можем разделить обе части уравнения на $t^2$:

$t^2 - 5t + 6 - \frac{5}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 5\left(t + \frac{1}{t}\right) + 6 = 0$

Сделаем еще одну замену. Пусть $y = t + \frac{1}{t}$. Возводя в квадрат, получим $y^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, откуда следует, что $t^2 + \frac{1}{t^2} = y^2 - 2$. Подставим это в уравнение:

$(y^2 - 2) - 5y + 6 = 0$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, его корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь вернемся к переменной $t$:

1. Если $y=1$, то $t + \frac{1}{t} = 1 \implies t^2 - t + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому действительных корней для $t$ в этом случае нет.
2. Если $y=4$, то $t + \frac{1}{t} = 4 \implies t^2 - 4t + 1 = 0$. Решая это квадратное уравнение, находим корни для $t$:
   $t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
   Таким образом, мы имеем два положительных корня: $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Наконец, найдем значения $x$, используя обратную замену $t = (2 + \sqrt{3})^x$:

• Для $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ имеем: $(2 + \sqrt{3})^x = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 1$.
• Для $t_2 = 2 - \sqrt{3}$ имеем: $(2 + \sqrt{3})^x = 2 - \sqrt{3}$. Так как $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$, то $(2 + \sqrt{3})^x = (2 + \sqrt{3})^{-1} \implies x_2 = -1$.

Корнями исходного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Сумма корней уравнения:Искомая сумма корней равна $1 + (-1) = 0$. Ответ: 0