Номер 12, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.12. Решите уравнение $(\sqrt[5]{3})^x + (\sqrt[10]{3})^{x-10} = 84$.

Преобразуем исходное уравнение $(\sqrt[5]{3})^x + (\sqrt[10]{3})^{x-10} = 84$, используя свойства степеней $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Первый член: $(\sqrt[5]{3})^x = (3^{1/5})^x = 3^{x/5}$.

Второй член: $(\sqrt[10]{3})^{x-10} = (3^{1/10})^{x-10} = 3^{\frac{x-10}{10}} = 3^{\frac{x}{10}-1} = \frac{3^{x/10}}{3}$.

После преобразования уравнение принимает вид:

$$3^{x/5} + \frac{3^{x/10}}{3} = 84$$

Заметим, что $3^{x/5} = (3^{x/10})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $y = 3^{x/10}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Подставляем новую переменную в уравнение и получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^2 + \frac{y}{3} = 84$$

Умножим все члены на 3 и приведем к стандартному виду:

$3y^2 + y = 252$

$3y^2 + y - 252 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 3024 = 3025$.

Корни уравнения для $y$:

$$y = \frac{-1 \pm \sqrt{3025}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 55}{6}$$

$y_1 = \frac{54}{6} = 9$

$y_2 = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Поскольку $y$ должен быть положительным ($y = 3^{x/10} > 0$), корень $y_2 = -\frac{28}{3}$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 9$:

$3^{x/10} = 9$

$3^{x/10} = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{10} = 2$

$x = 20$

Ответ: 20