Номер 8, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.8. Решите уравнение:

а) $(8 + 3\sqrt{7})^{12x - 1} = (8 - 3\sqrt{7})^{3 - 4x}$;

б) $(7 - 4\sqrt{3})^{x^2 - 2} - (7 + 4\sqrt{3})^{4x + 3} = 0.$

а) Дано уравнение: $(8 + 3\sqrt{7})^{12x-1} = (8 - 3\sqrt{7})^{3-4x}$.

Заметим, что основания степеней $(8 + 3\sqrt{7})$ и $(8 - 3\sqrt{7})$ являются сопряженными. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 9 \cdot 7 = 64 - 63 = 1$.

Поскольку произведение равно 1, эти числа являются взаимно обратными. Это означает, что мы можем выразить одно основание через другое:

$8 - 3\sqrt{7} = \frac{1}{8 + 3\sqrt{7}} = (8 + 3\sqrt{7})^{-1}$.

Подставим это выражение в правую часть исходного уравнения:

$(8 + 3\sqrt{7})^{12x-1} = ((8 + 3\sqrt{7})^{-1})^{3-4x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$(8 + 3\sqrt{7})^{12x-1} = (8 + 3\sqrt{7})^{-(3-4x)}$

$(8 + 3\sqrt{7})^{12x-1} = (8 + 3\sqrt{7})^{4x-3}$.

Так как основания степеней равны и не равны 1, мы можем приравнять показатели степеней:

$12x - 1 = 4x - 3$.

Решим полученное линейное уравнение:

$12x - 4x = -3 + 1$

$8x = -2$

$x = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

б) Дано уравнение: $(7 - 4\sqrt{3})^{x^2-2} - (7 + 4\sqrt{3})^{4x+3} = 0$.

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения, чтобы получить равенство степеней:

$(7 - 4\sqrt{3})^{x^2-2} = (7 + 4\sqrt{3})^{4x+3}$.

Основания степеней $(7 - 4\sqrt{3})$ и $(7 + 4\sqrt{3})$ также являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Так как произведение равно 1, эти числа взаимно обратные. Выразим $7 + 4\sqrt{3}$ через $7 - 4\sqrt{3}$:

$7 + 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = (7 - 4\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим это выражение в правую часть уравнения:

$(7 - 4\sqrt{3})^{x^2-2} = ((7 - 4\sqrt{3})^{-1})^{4x+3}$.

Упростим правую часть, используя свойство степеней:

$(7 - 4\sqrt{3})^{x^2-2} = (7 - 4\sqrt{3})^{-(4x+3)}$

$(7 - 4\sqrt{3})^{x^2-2} = (7 - 4\sqrt{3})^{-4x-3}$.

Основания степеней равны и не равны 1, поэтому приравниваем показатели:

$x^2 - 2 = -4x - 3$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2 + 3 = 0$

$x^2 + 4x + 1 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Найдем корни:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = -2 + \sqrt{3}$

$x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = -2 + \sqrt{3}, x_2 = -2 - \sqrt{3}$.