Номер 19, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.19. Найдите значение выражения:

а) $\ln e^3$;

б) $e^{\ln 7}$;

в) $\ln \frac{1}{e}$;

г) $e^{2\ln 5}$.

Для решения данных выражений необходимо использовать свойства натурального логарифма ($ \ln x = \log_e x $) и показательной функции. Ключевые тождества:

• Основное логарифмическое тождество: $ e^{\ln a} = a $ для $ a > 0 $.
• Свойство логарифма от степени основания: $ \ln(e^b) = b $.
• Свойство степени логарифма: $ b \cdot \ln a = \ln(a^b) $.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

а) $ \ln e^3 $;
Используем свойство логарифма от степени основания $ \ln(e^b) = b $. В данном случае $ b = 3 $.
$ \ln e^3 = 3 $
Ответ: 3

б) $ e^{\ln 7} $;
Используем основное логарифмическое тождество $ e^{\ln a} = a $. В данном случае $ a = 7 $.
$ e^{\ln 7} = 7 $
Ответ: 7

в) $ \ln \frac{1}{e} $;
Сначала преобразуем аргумент логарифма, используя свойство степеней $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$ \frac{1}{e} = e^{-1} $
Теперь выражение принимает вид $ \ln(e^{-1}) $. Применим свойство $ \ln(e^b) = b $, где $ b = -1 $.
$ \ln(e^{-1}) = -1 $
Ответ: -1

г) $ e^{2\ln 5} $.
Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $ b \cdot \ln a = \ln(a^b) $. В данном случае $ b=2 $ и $ a=5 $.
$ 2\ln 5 = \ln(5^2) = \ln 25 $
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ e^{\ln 25} $
Используем основное логарифмическое тождество $ e^{\ln a} = a $, где $ a = 25 $.
$ e^{\ln 25} = 25 $
Ответ: 25