Номер 15, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.15. Верно ли, что график функции $f(x) = 10^x + 0.1^x$ симметричен относительно оси ординат?

Чтобы проверить, является ли график функции $f(x) = 10^x + 0,1^x$ симметричным относительно оси ординат (оси OY), необходимо проверить функцию на четность. График функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция является четной.

Функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 10^{-x} + 0,1^{-x}$

Преобразуем выражение, зная, что $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$:
$0,1^{-x} = (10^{-1})^{-x} = 10^{(-1) \cdot (-x)} = 10^x$.

Подставим это в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = 10^{-x} + 10^x$.

Теперь сравним полученное выражение $f(-x)$ с исходной функцией $f(x)$. Для удобства сравнения преобразуем и исходную функцию:
$f(x) = 10^x + 0,1^x = 10^x + (10^{-1})^x = 10^x + 10^{-x}$.

Сравниваем:
$f(x) = 10^x + 10^{-x}$
$f(-x) = 10^{-x} + 10^x$

Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения), то $10^x + 10^{-x} = 10^{-x} + 10^x$.
Следовательно, равенство $f(x) = f(-x)$ выполняется для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является четной.

Так как функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Да, верно.