Номер 9, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 5^{\sin x}$;

б) $y = \left(\frac{2}{9}\right)^{\cos x}$;

в) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 5$;

г) $y = 2^{|\cos x|} + 3$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций мы будем использовать свойства показательной функции и области значений тригонометрических функций.

а) Рассмотрим функцию $y = 5^{\sin x}$.

1. Находим область значений показателя степени, то есть функции $\sin x$. Область значений синуса: $E(\sin x) = [-1; 1]$. Это означает, что $-1 \le \sin x \le 1$.

2. Анализируем основание показательной функции. Основание равно 5, что больше 1. Это означает, что функция $f(t) = 5^t$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

3. Так как функция возрастающая, наименьшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента (показателя), а наибольшее — при наибольшем.

• Наименьшее значение функции достигается, когда $\sin x = -1$:
  $y_{наим} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
• Наибольшее значение функции достигается, когда $\sin x = 1$:
  $y_{наиб} = 5^{1} = 5$.

Ответ: наименьшее значение: $\frac{1}{5}$; наибольшее значение: 5.

б) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{2}{9}\right)^{\cos x}$.

1. Находим область значений показателя степени, то есть функции $\cos x$. Область значений косинуса: $E(\cos x) = [-1; 1]$. Это означает, что $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Анализируем основание показательной функции. Основание равно $\frac{2}{9}$, что находится в интервале $(0; 1)$. Это означает, что функция $f(t) = (\frac{2}{9})^t$ является монотонно убывающей.

3. Так как функция убывающая, наименьшее значение она принимает при наибольшем значении аргумента, а наибольшее — при наименьшем.

• Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x = -1$:
  $y_{наиб} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
• Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x = 1$:
  $y_{наим} = \left(\frac{2}{9}\right)^{1} = \frac{2}{9}$.

Ответ: наименьшее значение: $\frac{2}{9}$; наибольшее значение: $\frac{9}{2} = \mathbf{4}\frac{1}{2}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 5$.

1. Находим область значений выражения в показателе степени, то есть $|\sin x|$. Поскольку $E(\sin x) = [-1; 1]$, то область значений его модуля $E(|\sin x|) = [0; 1]$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $z = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|}$. Основание показательной функции равно $\frac{1}{7}$, что находится в интервале $(0; 1)$. Следовательно, функция $f(t) = (\frac{1}{7})^t$ является монотонно убывающей.

3. Так как функция $z$ убывающая, ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении показателя $|\sin x|$, а наименьшее — при наибольшем.

• Наибольшее значение $z$ достигается, когда $|\sin x|=0$:
  $z_{наиб} = \left(\frac{1}{7}\right)^{0} = 1$.
• Наименьшее значение $z$ достигается, когда $|\sin x|=1$:
  $z_{наим} = \left(\frac{1}{7}\right)^{1} = \frac{1}{7}$.

4. Исходная функция $y$ получается из $z$ вычитанием 5. Таким образом, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения $y$, нужно вычесть 5 из наименьшего и наибольшего значений $z$.

• Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = z_{наиб} - 5 = 1 - 5 = -4$.
• Наименьшее значение функции: $y_{наим} = z_{наим} - 5 = \frac{1}{7} - 5 = \frac{1 - 35}{7} = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7}$.

Ответ: наименьшее значение: $-\frac{34}{7} = -\mathbf{4}\frac{6}{7}$; наибольшее значение: -4.

г) Рассмотрим функцию $y = 2^{|\cos x|} + 3$.

1. Находим область значений выражения в показателе степени, то есть $|\cos x|$. Поскольку $E(\cos x) = [-1; 1]$, то область значений его модуля $E(|\cos x|) = [0; 1]$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $z = 2^{|\cos x|}$. Основание показательной функции равно 2, что больше 1. Следовательно, функция $f(t) = 2^t$ является монотонно возрастающей.

3. Так как функция $z$ возрастающая, ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении показателя $|\cos x|$, а наибольшее — при наибольшем.

• Наименьшее значение $z$ достигается, когда $|\cos x|=0$:
  $z_{наим} = 2^{0} = 1$.
• Наибольшее значение $z$ достигается, когда $|\cos x|=1$:
  $z_{наиб} = 2^{1} = 2$.

4. Исходная функция $y$ получается из $z$ прибавлением 3. Таким образом, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения $y$, нужно прибавить 3 к наименьшему и наибольшему значениям $z$.

• Наименьшее значение функции: $y_{наим} = z_{наим} + 3 = 1 + 3 = 4$.
• Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = z_{наиб} + 3 = 2 + 3 = 5$.

Ответ: наименьшее значение: 4; наибольшее значение: 5.