Номер 8, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.8. Постройте график функции:

а) $y = 3^{|x|}$;

б) $y = |3^x - 1|$;

в) $y = 3^{|x|-2}$;

г) $y = 3^{|x-1|}$;

д) $y = |3^{|x+2|} - 3|$;

е) $y = \left|\frac{1}{3^{|x|}} - 1\right|.$

Для построения графиков будем использовать метод преобразований, отталкиваясь от графика базовой показательной функции $y = 3^x$. Этот график проходит через точку $(0, 1)$, возрастает на всей области определения, и ось Ох ($y=0$) является его горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

а) $y = 3^{|x|}$

График функции $y = f(|x|)$ строится из графика $y = f(x)$ следующим образом:

1. Часть графика для $x \ge 0$ остается без изменений.
2. Часть графика для $x < 0$ удаляется.
3. Оставшаяся часть графика ($x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси OY.

Применим это правило к нашей функции.

1. Строим график базовой функции $y = 3^x$.
2. Для $x \ge 0$, у нас $y = 3^x$. Оставляем эту часть графика. Она проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$.
3. Симметрично отражаем эту часть относительно оси OY. Получаем ветвь для $x < 0$, которая задается уравнением $y = 3^{-x}$. Она проходит через точки $(-1, 3)$, $(-2, 9)$.

В результате получаем график, симметричный относительно оси OY, с точкой минимума в $(0, 1)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, минимум в точке $(0, 1)$. Например, для точки на графике с ординатой $y = \frac{9}{2}$ (что соответствует абсциссе $x=\pm\log_3(\frac{9}{2})$), можно выделить целую часть: $y = 4\frac{1}{2}$. Целая часть равна 4.

б) $y = |3^x - 1|$

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = 3^x$.
2. Смещаем этот график на 1 единицу вниз по оси OY, чтобы получить график функции $y_1 = 3^x - 1$. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 0)$.
3. Применяем преобразование модуля: $y = |y_1| = |3^x - 1|$. Для этого часть графика $y_1$, которая находится ниже оси OX, симметрично отражаем относительно оси OX.
   • $3^x - 1 \ge 0$ при $x \ge 0$. На этом промежутке график $y = 3^x - 1$ остается без изменений.
   • $3^x - 1 < 0$ при $x < 0$. На этом промежутке график отражается, и функция принимает вид $y = -(3^x - 1) = 1 - 3^x$.

Итоговый график проходит через начало координат $(0, 0)$. При $x \to -\infty$, $y \to 1$, поэтому прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: График проходит через $(0,0)$, имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$. Например, для точки на графике с абсциссой $x = \log_3(\frac{9}{2})$ ордината равна $y = |\frac{9}{2}-1| = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$. Целая часть равна 3.

в) $y = 3^{|x|-2}$

Можно представить эту функцию как $y = 3^{|x|} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{|x|}$. Это означает, что график функции $y=3^{|x|}$ (из пункта а) нужно сжать по оси OY в 9 раз.
Альтернативный способ построения по шагам:

1. Строим график $y = 3^{x-2}$. Это график $y=3^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Он проходит через точку $(2, 1)$ и $(0, 1/9)$.
2. Применяем преобразование $f(x) \to f(|x|)$. Часть графика для $x \ge 0$ (т.е. $y=3^{x-2}$) оставляем, а затем отражаем её симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

В результате получаем график, симметричный относительно оси OY, с точкой минимума в $(0, 3^{|0|-2}) = (0, 3^{-2}) = (0, 1/9)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, минимум в точке $(0, 1/9)$. Например, для точки на графике с ординатой $y=\frac{3}{2}$ (что соответствует $x=\pm(\log_3(3/2)+2)$), можно выделить целую часть: $y=1\frac{1}{2}$. Целая часть равна 1.

г) $y = 3^{|x-1|}$

Этот график можно получить из графика $y = 3^{|x|}$ (из пункта а) путем сдвига на 1 единицу вправо по оси OX.

1. Строим график $y = 3^{|x|}$. Он симметричен относительно оси OY и имеет минимум в точке $(0, 1)$.
2. Сдвигаем весь график на 1 единицу вправо.

Полученный график $y = 3^{|x-1|}$ будет симметричен относительно прямой $x=1$, а точка минимума переместится в $(1, 1)$.

• При $x \ge 1$, $y=3^{x-1}$.
• При $x < 1$, $y=3^{-(x-1)}=3^{1-x}$.

Ответ: График симметричен относительно прямой $x=1$, минимум в точке $(1, 1)$. Например, для точки на графике с ординатой $y = \frac{7}{2}$ (что соответствует $x=1\pm\log_3(\frac{7}{2})$), можно выделить целую часть: $y=3\frac{1}{2}$. Целая часть равна 3.

д) $y = |3^{|x+2|} - 3|$

Строим график по шагам:

1. $y_1 = 3^{|x|}$: график из пункта а).
2. $y_2 = 3^{|x+2|}$: сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы влево. Минимум в точке $(-2, 1)$.
3. $y_3 = 3^{|x+2|} - 3$: сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вниз. Минимум в точке $(-2, -2)$. График пересекает ось OX в точках, где $3^{|x+2|}=3$, то есть $|x+2|=1$, откуда $x=-1$ и $x=-3$.
4. $y = |3^{|x+2|} - 3|$: часть графика $y_3$, лежащую ниже оси OX (на интервале $(-3, -1)$), отражаем симметрично относительно оси OX.

Итоговый график имеет "изломы" в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$. Точка локального максимума находится в $(-2, 2)$. График симметричен относительно прямой $x=-2$.

Ответ: График имеет локальный максимум в точке $(-2,2)$ и пересекает ось Ох в точках $(-3,0)$ и $(-1,0)$. Например, для точки на графике с ординатой $y = \frac{5}{2}$ (что соответствует $x=-2\pm\log_3(\frac{11}{2})$), можно выделить целую часть: $y=2\frac{1}{2}$. Целая часть равна 2.

е) $y = |\frac{1}{3^{|x|}} - 1|$

Преобразуем выражение: $y = |3^{-|x|} - 1|$. Построение по шагам:

1. $y_1 = 3^{-|x|}$: для построения этого графика заметим, что при $x \ge 0$ это $y=3^{-x}$, а при $x<0$ это $y=3^x$. График симметричен относительно оси OY и имеет максимум в точке $(0, 1)$.
2. $y_2 = 3^{-|x|} - 1$: сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вниз. Максимум теперь в точке $(0, 0)$. Весь график, кроме этой точки, лежит ниже оси OX. Горизонтальная асимптота $y=-1$.
3. $y = |3^{-|x|} - 1|$: поскольку $y_2 \le 0$ для всех $x$, мы просто отражаем весь график $y_2$ относительно оси OX.

Итоговый график $y = 1 - 3^{-|x|}$ имеет минимум в точке $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси OY и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$, к которой стремится снизу при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График имеет минимум в точке $(0,0)$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Значения данной функции лежат в промежутке $[0, 1)$, поэтому среди них нет неправильных дробей. В качестве примера выделения целой части из произвольной неправильной дроби рассмотрим $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$. Целая часть равна 2.