Номер 12, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.12. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4^{\sin^2 x - \cos^2 x + 2}$.

Для нахождения произведения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4^{\sin^2 x - \cos^2 x + 2}$, необходимо сначала найти область значений этой функции.

1. Рассмотрим показатель степени $g(x) = \sin^2 x - \cos^2 x + 2$. Его можно упростить, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Выражение в показателе $\sin^2 x - \cos^2 x$ является противоположным по знаку выражению $\cos^2 x - \sin^2 x$, следовательно:

$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$

Теперь подставим это в исходное выражение для показателя степени:

$g(x) = -\cos(2x) + 2$

2. Найдем область значений для показателя $g(x)$. Мы знаем, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Чтобы найти область значений $g(x)$, выполним преобразования с этим неравенством:

• Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $1 \ge -\cos(2x) \ge -1$, что можно переписать как $-1 \le -\cos(2x) \le 1$.
• Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $2-1 \le 2 - \cos(2x) \le 2+1$.
• Получаем: $1 \le g(x) \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение показателя степени равно 1, а наибольшее равно 3.

3. Так как основание степени в функции $f(x) = 4^{g(x)}$ больше единицы ($4 > 1$), функция является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении показателя, а наибольшее — при наибольшем.

• Наименьшее значение функции: $f_{min} = 4^1 = 4$.
• Наибольшее значение функции: $f_{max} = 4^3 = 64$.

Произведение наибольшего и наименьшего значений: Произведение найденных значений равно $64 \cdot 4 = 256$. Ответ: 256