Номер 4, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.4. Найдите значение аргумента, при котором функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ принимает значение, равное:

а) $\frac{1}{4}$;

б) $64$;

в) $\frac{1}{4\sqrt{2}};

г) $32\sqrt{2}$.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ принимает заданное значение, нужно решить показательное уравнение $(\frac{1}{2})^x = y$ для каждого значения $y$.

а) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = \frac{1}{4}$.
Составим уравнение: $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = (\frac{1}{2})^2$
Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x = 2$
Ответ: $2$

б) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 64$.
Составим уравнение: $(\frac{1}{2})^x = 64$
Для решения представим обе части уравнения в виде степеней с основанием 2:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$
Правая часть: $64 = 2^6$
Уравнение принимает вид:
$2^{-x} = 2^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 6$
$x = -6$
Ответ: $-6$

в) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.
Составим уравнение: $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4\sqrt{2}}$
Представим правую часть как степень с основанием 2:
$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2}$
Тогда $\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2}$.
Теперь приведем левую часть к основанию 2: $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$.
Уравнение принимает вид:
$2^{-x} = 2^{-5/2}$
Приравниваем показатели:
$-x = -\frac{5}{2}$
$x = \frac{5}{2}$
Поскольку ответ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$

г) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 32\sqrt{2}$.
Составим уравнение: $(\frac{1}{2})^x = 32\sqrt{2}$
Представим обе части как степени с основанием 2:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$
Правая часть: $32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5 + 1/2} = 2^{11/2}$
Уравнение принимает вид:
$2^{-x} = 2^{11/2}$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = \frac{11}{2}$
$x = -\frac{11}{2}$
Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2}$.
Ответ: $-5\frac{1}{2}$