Номер 20, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.20. Найдите производную функции:

а) $y = e^x - 3x;$

б) $y = e^{9x+2};$

в) $y = e^x \cdot \operatorname{tg} x;$

г) $y = \frac{e^{x^2 - 1}}{x^5}.$

а) Для нахождения производной функции $y = e^x - 3x$ используется правило дифференцирования разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.
Находим производную каждого слагаемого по отдельности:
Производная от $e^x$ равна $e^x$.
Производная от $3x$ равна $3$.
Таким образом, производная всей функции:
$y' = (e^x - 3x)' = (e^x)' - (3x)' = e^x - 3$.
Ответ: $e^x - 3$.

б) Функция $y = e^{9x+2}$ является сложной функцией. Для нахождения её производной применяется цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция — это экспонента $f(u) = e^u$, её производная $f'(u) = e^u$.
Внутренняя функция — это показатель степени $g(x) = 9x+2$, её производная $g'(x) = (9x+2)' = 9$.
Перемножаем производные внешней и внутренней функций:
$y' = (e^{9x+2})' = e^{9x+2} \cdot (9x+2)' = e^{9x+2} \cdot 9 = 9e^{9x+2}$.
Ответ: $9e^{9x+2}$.

в) Функция $y = e^x \cdot \tg x$ является произведением двух функций $u(x) = e^x$ и $v(x) = \tg x$. Для нахождения её производной применяется правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Находим производные каждого множителя:
$u'(x) = (e^x)' = e^x$.
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$y' = (e^x)' \cdot \tg x + e^x \cdot (\tg x)' = e^x \cdot \tg x + e^x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Для упрощения можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки:
$y' = e^x \left(\tg x + \frac{1}{\cos^2 x}\right)$.
Ответ: $e^x \left(\tg x + \frac{1}{\cos^2 x}\right)$.

г) Функция $y = \frac{e^{x^2-1}}{x^5}$ является частным двух функций $u(x) = e^{x^2-1}$ и $v(x) = x^5$. Для нахождения её производной применяется правило дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Сначала находим производную числителя $u'(x)$, используя цепное правило:
$u'(x) = (e^{x^2-1})' = e^{x^2-1} \cdot (x^2-1)' = e^{x^2-1} \cdot 2x = 2xe^{x^2-1}$.
Затем находим производную знаменателя $v'(x)$:
$v'(x) = (x^5)' = 5x^4$.
Подставляем все компоненты в формулу производной частного:
$y' = \frac{(2xe^{x^2-1}) \cdot x^5 - e^{x^2-1} \cdot (5x^4)}{(x^5)^2} = \frac{2x^6e^{x^2-1} - 5x^4e^{x^2-1}}{x^{10}}$.
В числителе выносим общий множитель $x^4e^{x^2-1}$ за скобки и сокращаем дробь:
$y' = \frac{x^4e^{x^2-1}(2x^2 - 5)}{x^{10}} = \frac{e^{x^2-1}(2x^2 - 5)}{x^6}$.
Ответ: $\frac{e^{x^2-1}(2x^2 - 5)}{x^6}$.