Номер 16, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.16. Найдите значение выражения:

а) $\log_{7-4\sqrt{3}}(7+4\sqrt{3});$

б) $\log_{9+4\sqrt{5}}(9-4\sqrt{5});$

в) $\log_{\sqrt{2}+1}(3+2\sqrt{2});$

г) $\log_{4-2\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1);$

д) $\log_{2+\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3});$

е) $\log_{\sqrt{3}-1}(6\sqrt{3}-10).$

а) Для нахождения значения выражения $\log_{7-4\sqrt{3}}(7+4\sqrt{3})$ нужно представить аргумент $7+4\sqrt{3}$ в виде степени основания $7-4\sqrt{3}$. Заметим, что основание и аргумент являются сопряженными выражениями. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов:
$(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Из этого следует, что $7+4\sqrt{3} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = (7-4\sqrt{3})^{-1}$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$\log_{7-4\sqrt{3}}(7+4\sqrt{3}) = \log_{7-4\sqrt{3}}\left((7-4\sqrt{3})^{-1}\right) = -1$.
Ответ: -1.

б) Найдем значение выражения $\log_{9+4\sqrt{5}}(9-4\sqrt{5})$. Аналогично предыдущему пункту, основание $9+4\sqrt{5}$ и аргумент $9-4\sqrt{5}$ являются сопряженными выражениями. Найдем их произведение:
$(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
Отсюда следует, что $9-4\sqrt{5} = \frac{1}{9+4\sqrt{5}} = (9+4\sqrt{5})^{-1}$.
Поэтому логарифм равен:
$\log_{9+4\sqrt{5}}(9-4\sqrt{5}) = \log_{9+4\sqrt{5}}\left((9+4\sqrt{5})^{-1}\right) = -1$.
Ответ: -1.

в) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{2}+1}(3+2\sqrt{2})$. Представим аргумент $3+2\sqrt{2}$ в виде степени основания $\sqrt{2}+1$. Для этого возведем основание в квадрат, используя формулу квадрата суммы:
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2}$.
Таким образом, аргумент равен квадрату основания.
Следовательно:
$\log_{\sqrt{2}+1}(3+2\sqrt{2}) = \log_{\sqrt{2}+1}\left((\sqrt{2}+1)^2\right) = 2$.
Ответ: 2.

г) Найдем значение выражения $\log_{4-2\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)$. Преобразуем основание логарифма $4-2\sqrt{3}$, используя формулу квадрата разности:
$4-2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$.
Теперь выражение принимает вид $\log_{(\sqrt{3}-1)^2}(\sqrt{3}-1)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_a b$:
$\log_{(\sqrt{3}-1)^2}(\sqrt{3}-1) = \frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}-1) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Найдем значение выражения $\log_{2+\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3})$. Установим связь между основанием $2+\sqrt{3}$ и аргументом $7-4\sqrt{3}$.
Сначала найдем выражение, обратное основанию: $(2+\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7-4\sqrt{3}$.
Таким образом, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 = \left((2+\sqrt{3})^{-1}\right)^2 = (2+\sqrt{3})^{-2}$.
Следовательно,
$\log_{2+\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3}) = \log_{2+\sqrt{3}}\left((2+\sqrt{3})^{-2}\right) = -2$.
Ответ: -2.

е) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{3}-1}(6\sqrt{3}-10)$. Представим аргумент $6\sqrt{3}-10$ в виде степени основания $\sqrt{3}-1$. Вычислим степени основания:
$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4-2\sqrt{3}$.
$(\sqrt{3}-1)^3 = (\sqrt{3}-1)^2(\sqrt{3}-1) = (4-2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 4\sqrt{3} - 4 - 2(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4 - 6 + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 10$.
Таким образом, аргумент равен кубу основания.
Следовательно:
$\log_{\sqrt{3}-1}(6\sqrt{3}-10) = \log_{\sqrt{3}-1}\left((\sqrt{3}-1)^3\right) = 3$.
Ответ: 3.