Номер 13, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.13. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

a)

$\log_{0.4}\left(\frac{1}{5}\sqrt[3]{50}\right);$

б)

$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{3}\sqrt[4]{54}\right).$

a) Чтобы доказать, что значение выражения $ \log_{0,4}\left(\frac{1}{5}\sqrt[3]{50}\right) $ является рациональным числом, необходимо его вычислить. Для этого преобразуем основание и аргумент логарифма к одному основанию.

1. Преобразуем основание логарифма:

$$ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$

2. Преобразуем аргумент логарифма:

$$ \frac{1}{5}\sqrt[3]{50} = \frac{1}{5} \cdot (2 \cdot 25)^{\frac{1}{3}} = 5^{-1} \cdot (2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{-1} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} $$

Сгруппируем степени с основанием 5:

$$ 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-1+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{3}} $$

3. Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$$ \log_{0,4}\left(\frac{1}{5}\sqrt[3]{50}\right) = \log_{\frac{2}{5}}\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\right) $$

4. Используя основное свойство логарифма $ \log_b(b^x) = x $, получаем:

$$ \log_{\frac{2}{5}}\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} $$

Значение выражения равно $ \frac{1}{3} $, что является рациональным числом. Утверждение доказано.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $ \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{3}\sqrt[4]{54}\right) $ является рациональным числом, необходимо его вычислить. Для этого преобразуем аргумент логарифма к основанию $ \frac{2}{3} $.

1. Основание логарифма уже представлено в виде рациональной дроби $ \frac{2}{3} $.

2. Преобразуем аргумент логарифма:

$$ \frac{1}{3}\sqrt[4]{54} = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 27)^{\frac{1}{4}} = 3^{-1} \cdot (2 \cdot 3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{-1} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} $$

Сгруппируем степени с основанием 3:

$$ 2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{-1+\frac{3}{4}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{-\frac{1}{4}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{4}} $$

3. Подставим преобразованный аргумент в исходное выражение:

$$ \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{3}\sqrt[4]{54}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{4}}\right) $$

4. Используя основное свойство логарифма $ \log_b(b^x) = x $, получаем:

$$ \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{4}}\right) = \frac{1}{4} $$

Значение выражения равно $ \frac{1}{4} $, что является рациональным числом. Утверждение доказано.

Ответ: $ \frac{1}{4} $.