Номер 1, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.1. Выберите верные равенства:

а) $\log_5 25 = \frac{1}{2};$

б) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = 4;$

в) $\log_{0.2} 5 = -1;$

г) $\log_6 \frac{1}{216} = \frac{1}{3};$

д) $\log_2 0.125 = -3;$

е) $\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2};$

ж) $\log_7 \sqrt[3]{7} = 3;$

з) $\log_{0.75} \frac{3}{4} = 0.$

а) Проверим равенство $\log_5 25 = \frac{1}{2}$.
Вычислим левую часть, используя определение логарифма и свойства степеней: $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.
Сравним полученный результат с правой частью: $2 \neq \frac{1}{2}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: $2$.

б) Проверим равенство $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = 4$.
Вычислим левую часть: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^4 = 4$.
Сравним полученный результат с правой частью: $4 = 4$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: $4$.

в) Проверим равенство $\log_{0,2} 5 = -1$.
Представим основание $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Вычислим левую часть: $\log_{0,2} 5 = \log_{5^{-1}} 5^1 = \frac{1}{-1}\log_5 5 = -1$.
Сравним полученный результат с правой частью: $-1 = -1$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: $-1$.

г) Проверим равенство $\log_6 \frac{1}{216} = \frac{1}{3}$.
Вычислим левую часть: $\log_6 \frac{1}{216} = \log_6 6^{-3} = -3$.
Сравним полученный результат с правой частью: $-3 \neq \frac{1}{3}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: $-3$.

д) Проверим равенство $\log_2 0,125 = -3$.
Представим $0,125$ в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Вычислим левую часть: $\log_2 0,125 = \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$.
Сравним полученный результат с правой частью: $-3 = -3$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: $-3$.

е) Проверим равенство $\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}$.
Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм, т.е. $\log_{10}$.
Вычислим левую часть: $\lg \sqrt{10} = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Сравним полученный результат с правой частью: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

ж) Проверим равенство $\log_7 \sqrt[3]{7} = 3$.
Вычислим левую часть: $\log_7 \sqrt[3]{7} = \log_7 7^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Сравним полученный результат с правой частью: $\frac{1}{3} \neq 3$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

з) Проверим равенство $\log_{0,75} \frac{3}{4} = 0$.
Представим основание $0,75$ в виде дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Вычислим левую часть: $\log_{0,75} \frac{3}{4} = \log_{\frac{3}{4}} \frac{3}{4} = 1$.
Сравним полученный результат с правой частью: $1 \neq 0$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: $1$.

Таким образом, верными являются равенства под буквами: б, в, д, е.