Номер 3, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.3. Найдите область определения функции:

а) $y = (x^2 - 6)^{-1.8}$;

б) $y = (7x - 3x^2)^{\frac{1}{7}}$;

в) $y = (x^3 - 2x^2 + x)^{-0.8}$;

г) $y = (x^4 - 5x^2 + 4)^{\sqrt{3}}$;

д) $y = (x - 4x^3)^{-\sqrt{2}}$;

е) $y = \left(\frac{9x^4 - 8x^2 - 1}{4x^2 - 1}\right)^{\sqrt{5}}$.

а) Показатель степени $p = -1.8$ — отрицательное нецелое число. Следовательно, основание степени должно быть строго больше нуля.

$x^2 - 6 > 0$

$x^2 > 6$

$|x| > \sqrt{6}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

б) Показатель степени $p = \frac{1}{7}$ — положительное дробное число. По стандартному определению степенной функции с нецелым показателем, основание должно быть неотрицательным.

$7x - 3x^2 \ge 0$

$x(7 - 3x) \ge 0$

Корни уравнения $x(7-3x)=0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{7}{3}$. Графиком функции $f(x) = 7x - 3x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, функция неотрицательна между корнями.

$0 \le x \le \frac{7}{3}$

Ответ: $x \in [0; 2\frac{1}{3}]$.

в) Показатель степени $p = -0,8$ — отрицательное нецелое число. Основание степени должно быть строго больше нуля.

$x^3 - 2x^2 + x > 0$

$x(x^2 - 2x + 1) > 0$

$x(x-1)^2 > 0$

Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=1$ и положителен при всех остальных $x$. Чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть положительны и не равны нулю. Это означает, что $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Показатель степени $p = \sqrt{3}$ — положительное иррациональное число. Основание степени должно быть неотрицательным.

$x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Неравенство принимает вид $t^2 - 5t + 4 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $t_1=1$ и $t_2=4$. Решением неравенства является $t \le 1$ или $t \ge 4$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $x^2 \le 1 \implies |x| \le 1 \implies -1 \le x \le 1$
2. $x^2 \ge 4 \implies |x| \ge 2 \implies x \le -2 \text{ или } x \ge 2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [2; +\infty)$.

д) Показатель степени $p = -\sqrt{2}$ — отрицательное иррациональное число. Основание степени должно быть строго больше нуля.

$x - 4x^3 > 0$

$x(1 - 4x^2) > 0$

$x(1-2x)(1+2x) > 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Корни: $x=0$, $x=1/2$, $x=-1/2$. Определив знаки на интервалах, находим, что выражение положительно при $x \in (-\infty; -1/2)$ и $x \in (0; 1/2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (0; 1/2)$.

е) Показатель степени $p = \sqrt{5}$ — положительное иррациональное число. Основание степени должно быть неотрицательным.

$\frac{9x^4 - 8x^2 - 1}{4x^2 - 1} \ge 0$

Знаменатель не должен быть равен нулю: $4x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1/4 \implies x \neq \pm 1/2$.

Разложим числитель на множители. Замена $t=x^2$ дает $9t^2 - 8t - 1 = 9(t-1)(t+1/9)$. Тогда $9x^4 - 8x^2 - 1 = 9(x^2 - 1)(x^2 + 1/9)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{9(x^2 - 1)(x^2 + 1/9)}{4x^2 - 1} \ge 0$.

Так как $9(x^2+1/9) > 0$ для всех $x$, то неравенство эквивалентно $\frac{x^2-1}{4x^2-1} \ge 0$.

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=\pm 1$. Корни знаменателя: $x=\pm 1/2$.

Решение неравенства: $x^2 \ge 1$ или $x^2 < 1/4$.

• $x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$
• $x^2 < 1/4 \implies x \in (-1/2; 1/2)$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (-1/2; 1/2) \cup [1; +\infty)$.