Номер 1, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.1. Выберите точки, через которые проходит график функции $f(x) = x^{-0.75}$;

а) $A(1; -1)$;

б) $B(16; 0.125)$;

в) $C(\frac{1}{81}; 27)$;

г) $D(\sqrt[3]{2}; \frac{1}{\sqrt[4]{2}})$.

Чтобы определить, проходит ли график функции $f(x) = x^{-0,75}$ через заданную точку с координатами $(x_0; y_0)$, необходимо подставить значение абсциссы $x_0$ в уравнение функции и проверить, будет ли полученный результат равен ординате $y_0$.

Для удобства вычислений преобразуем показатель степени в обыкновенную дробь:

$-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$

Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = x^{-3/4}$. Это можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^{3/4}}$ или $f(x) = \frac{1}{(\sqrt[4]{x})^3}$.

Теперь проверим каждую из предложенных точек.

а) Проверяем точку A(1; -1).
Подставляем $x = 1$ в функцию:
$f(1) = 1^{-0,75} = 1^{-3/4} = 1$.
Полученное значение $y=1$ не совпадает с ординатой точки А, равной $-1$. Следовательно, точка А не принадлежит графику функции.
Ответ: не проходит.

б) Проверяем точку B(16; 0,125).
Представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Подставляем $x = 16$ в функцию:
$f(16) = 16^{-0,75} = 16^{-3/4} = \frac{1}{16^{3/4}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}$.
Поскольку $\sqrt[4]{16} = 2$, то:
$f(16) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Полученное значение $y=\frac{1}{8}$ совпадает с ординатой точки B. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.
Ответ: проходит.

в) Проверяем точку C($\frac{1}{81}$; 27).
Подставляем $x = \frac{1}{81}$ в функцию:
$f(\frac{1}{81}) = (\frac{1}{81})^{-0,75} = (\frac{1}{81})^{-3/4}$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$f(\frac{1}{81}) = (81)^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3$.
Поскольку $\sqrt[4]{81} = 3$, то:
$f(\frac{1}{81}) = 3^3 = 27$.
Полученное значение $y=27$ совпадает с ординатой точки C. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: проходит.

г) Проверяем точку D($\sqrt[3]{2}$; $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$).
Представим абсциссу и ординату в виде степеней: $x = \sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$ и $y = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{2^{1/4}} = 2^{-1/4}$.
Подставляем $x = 2^{1/3}$ в функцию:
$f(2^{1/3}) = (2^{1/3})^{-0,75} = (2^{1/3})^{-3/4}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$f(2^{1/3}) = 2^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-\frac{3}{12}} = 2^{-1/4}$.
Полученное значение $y=2^{-1/4}$ совпадает с ординатой точки D. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: проходит.