Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.11. Упростите выражение $\frac{ab^{-1} - 4}{b^{-1}\sqrt{a} + 2b^{-\frac{1}{2}}} + 2\sqrt{b}$

Для того чтобы упростить данное выражение, выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

Шаг 1: Преобразование степеней.

Используем свойства степеней, чтобы избавиться от отрицательных показателей: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

$b^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{b}}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

Шаг 2: Упрощение дроби.

Приведем числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю.

• Числитель: $ \frac{a}{b} - 4 = \frac{a - 4b}{b} $
• Знаменатель: $ \frac{\sqrt{a}}{b} + \frac{2}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{b} + \frac{2\sqrt{b}}{b} = \frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{b} $

Теперь наша дробь выглядит так:

При делении дроби на дробь можно сократить их одинаковые знаменатели ($b$):

Шаг 3: Применение формулы разности квадратов.

Числитель $a - 4b$ можно представить как разность квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $4b = (2\sqrt{b})^2$.

Используя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

Подставим это выражение обратно в дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$:

Шаг 4: Конечное упрощение.

Теперь подставим упрощенную дробь в исходное выражение:

Слагаемые $-2\sqrt{b}$ и $2\sqrt{b}$ взаимно уничтожаются:

Ответ: $ \sqrt{a} $