Номер 8, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.8. Упростите выражение

$\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}}$.

Данное выражение:

Для упрощения введем замену переменных. Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

Тогда исходные переменные выражаются как $a = x^3$ и $b = y^3$. Перепишем числитель и знаменатель дроби через новые переменные.

Числитель:

$a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^7 - 2(a^{\frac{1}{3}})^5(b^{\frac{1}{3}})^2 + (a^{\frac{1}{3}})^3(b^{\frac{1}{3}})^4 = x^7 - 2x^5y^2 + x^3y^4$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x^2-y^2)^2$.

Таким образом, числитель равен:

Знаменатель:

$a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b = (a^{\frac{1}{3}})^5 - (a^{\frac{1}{3}})^4(b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}})^3(b^{\frac{1}{3}})^2 + (a^{\frac{1}{3}})^2(b^{\frac{1}{3}})^3 = x^5 - x^4y - x^3y^2 + x^2y^3$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

В выражении $(x^4 - x^2y^2)$ вынесем за скобки $x^2$:

Таким образом, знаменатель равен:

Упрощение дроби:

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

Сократим общие множители $x^2$ и $(x^2 - y^2)$:

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

Сократим общий множитель $(x-y)$:

Выполним деление:

Исходное выражение представляет собой полученную дробь, разделенную на $a^{\frac{1}{3}}$, что в наших переменных равно $x$.

Обратная замена:

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$:

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$