Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.10. Найдите значение выражения $\left(\frac{a^{0,5}}{\sqrt{3}}-1\right) \cdot \frac{\left(a^{0,25}+\sqrt[4]{3}\right)^2-2\sqrt[4]{3a}}{\sqrt{3}}$ при

$a=\frac{3}{5}$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.$$ \left( \frac{a^{0.5}}{\sqrt{3}} - 1 \right) \cdot \frac{(a^{0.25} + \sqrt[4]{3})^2 - 2\sqrt[4]{3a}}{\sqrt{3}} $$

1. Преобразуем числитель второй дроби: $(a^{0.25} + \sqrt[4]{3})^2 - 2\sqrt[4]{3a}$.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.$$ (a^{0.25})^2 + 2 \cdot a^{0.25} \cdot \sqrt[4]{3} + (\sqrt[4]{3})^2 - 2\sqrt[4]{3a} $$Упростим члены выражения, учитывая, что $a^{0.25} = \sqrt[4]{a}$:

• $(a^{0.25})^2 = a^{0.5} = \sqrt{a}$
• $2 \cdot a^{0.25} \cdot \sqrt[4]{3} = 2\sqrt[4]{3a}$
• $(\sqrt[4]{3})^2 = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Подставив их обратно, получим:
$$ \sqrt{a} + 2\sqrt[4]{3a} + \sqrt{3} - 2\sqrt[4]{3a} = \sqrt{a} + \sqrt{3} $$

2. Теперь подставим упрощенный числитель в исходное выражение:$$ \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} - 1 \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$

3. Приведем первую скобку к общему знаменателю:$$ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$

4. Перемножим полученные дроби:$$ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2} $$

5. В числителе используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:$$ \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{a - 3}{3} $$

6. Подставим значение $a = \frac{3}{5}$ в полученное простое выражение:$$ \frac{\frac{3}{5} - 3}{3} = \frac{\frac{3}{5} - \frac{15}{5}}{3} = \frac{-\frac{12}{5}}{3} = -\frac{12}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15} $$

7. Сократим дробь на 3:$$ -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5} $$

Так как результат $-\frac{4}{5}$ является правильной дробью, условие о выделении целой части из неправильной дроби не применяется.