Номер 9, страница 99, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Муравьева, Урбан

9. Найдите три числа, произведение которых равно их сумме.

Обозначим три искомых числа как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их произведение равно их сумме. Запишем это в виде уравнения:

$a \cdot b \cdot c = a + b + c$

Эта задача имеет несколько решений, особенно если не ограничиваться только натуральными числами. Рассмотрим основные случаи.

Решение 1: Положительные целые числа

Предположим, что искомые числа $a, b, c$ являются положительными целыми числами. Для определённости упорядочим их: $1 \le a \le b \le c$.

Разделим обе части уравнения $abc = a+b+c$ на $abc$ (это возможно, так как числа положительные, а значит, не равны нулю):

$1 = \frac{a+b+c}{abc} = \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{c}{abc} = \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}$

Из нашего предположения $a \le b \le c$ следует, что $\frac{1}{ab} \ge \frac{1}{ac} \ge \frac{1}{bc}$. Используя это, мы можем составить неравенство:

$1 = \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} \le \frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{a \cdot a} = \frac{3}{a^2}$

Из неравенства $1 \le \frac{3}{a^2}$ следует, что $a^2 \le 3$. Так как $a$ — это положительное целое число, единственное значение, которое оно может принять, — это $a=1$.

Теперь подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$1 \cdot b \cdot c = 1 + b + c$

$bc = 1+b+c$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти $b$ и $c$. Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону:

$bc - b - c = 1$

Применим метод разложения на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$bc - b - c + 1 = 1 + 1$

$b(c-1) - 1(c-1) = 2$

$(b-1)(c-1) = 2$

Поскольку $b$ и $c$ — целые числа, выражения $(b-1)$ и $(c-1)$ также являются целыми числами, которые в произведении дают 2. Из условия $1=a \le b \le c$ следует, что $b-1 \ge 0$ и $c-1 \ge 0$, а также $b-1 \le c-1$. Единственная пара целых положительных множителей для числа 2 — это 1 и 2.

Следовательно:

$b-1 = 1 \implies b = 2$

$c-1 = 2 \implies c = 3$

Таким образом, мы нашли единственную (с точностью до перестановки) тройку положительных целых чисел: 1, 2 и 3.

Проверка:
Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$
Произведение: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
Равенство $6=6$ выполняется.

Ответ: 1, 2, 3.

Решение 2: Решение, содержащее ноль

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно нулю. Пусть $a=0$. Подставим это значение в уравнение:

$0 \cdot b \cdot c = 0 + b + c$

$0 = b + c$

Из этого следует, что $c = -b$. Это означает, что любая тройка чисел вида $(0, k, -k)$, где $k$ — любое действительное число, является решением. Например, если мы выберем $k=5$, получим числа 0, 5 и -5.

Проверка:
Сумма: $0 + 5 + (-5) = 0$
Произведение: $0 \cdot 5 \cdot (-5) = 0$
Равенство $0=0$ выполняется.

Сюда же относится и тривиальное решение (0, 0, 0), которое получается при $k=0$.

Ответ: 0, 5, -5 (или любая другая тройка чисел вида $0, k, -k$).

Решение 3: Решение в отрицательных целых числах

Теперь поищем решение, в котором все три числа $a, b, c$ являются отрицательными целыми числами. Пусть $a = -x, b = -y, c = -z$, где $x, y, z$ — положительные целые числа.

Подставим их в исходное уравнение:

$(-x)(-y)(-z) = (-x) + (-y) + (-z)$

$-xyz = -(x+y+z)$

$xyz = x+y+z$

Мы получили точно такое же уравнение, как и для положительных целых чисел. Как мы уже выяснили в первом решении, единственным решением в положительных целых числах (с точностью до перестановки) является тройка (1, 2, 3).

Следовательно, для $x, y, z$ значениями будут 1, 2, 3, а для исходных отрицательных чисел $a,b,c$ мы получаем значения -1, -2, -3.

Проверка:
Сумма: $(-1) + (-2) + (-3) = -6$
Произведение: $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$
Равенство $-6=-6$ выполняется.

Ответ: -1, -2, -3.