Номер 111, страница 301 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

111. По данным координатам вершин $A(0; 4)$, $B(4; 8)$, $C(8; 4)$ и $D(4; 0)$ постройте на координатной плоскости квадрат $ABCD$ и квадрат, симметричный ему относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

Сначала построим фигуру ABCD на координатной плоскости, отметив точки с заданными координатами A(0; 4), B(4; 8), C(8; 4) и D(4; 0) и последовательно соединив их. Чтобы убедиться, что полученная фигура является квадратом, необходимо проверить равенство длин его сторон и диагоналей. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Расчет длин сторон:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$
$BC = \sqrt{(8-4)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$
$CD = \sqrt{(4-8)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$
$DA = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$
Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

Расчет длин диагоналей:
$AC = \sqrt{(8-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$
$BD = \sqrt{(4-4)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$
Диагонали равны: $AC = BD$.
Так как у четырехугольника ABCD все стороны равны и диагонали равны, он является квадратом.

а) оси абсцисс;
При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$) каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$. То есть координата $x$ остается без изменений, а у координаты $y$ знак меняется на противоположный.
Найдем координаты вершин квадрата $A_1B_1C_1D_1$, симметричного квадрату $ABCD$:
$A(0; 4) \rightarrow A_1(0; -4)$
$B(4; 8) \rightarrow B_1(4; -8)$
$C(8; 4) \rightarrow C_1(8; -4)$
$D(4; 0) \rightarrow D_1(4; 0)$ (точка D лежит на оси $x$, поэтому отображается сама в себя)
Ответ: Координаты вершин симметричного квадрата $A_1(0; -4)$, $B_1(4; -8)$, $C_1(8; -4)$, $D_1(4; 0)$.

б) оси ординат.
При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$. То есть координата $y$ остается без изменений, а у координаты $x$ знак меняется на противоположный.
Найдем координаты вершин квадрата $A_2B_2C_2D_2$, симметричного квадрату $ABCD$:
$A(0; 4) \rightarrow A_2(0; 4)$ (точка A лежит на оси $y$, поэтому отображается сама в себя)
$B(4; 8) \rightarrow B_2(-4; 8)$
$C(8; 4) \rightarrow C_2(-8; 4)$
$D(4; 0) \rightarrow D_2(-4; 0)$
Ответ: Координаты вершин симметричного квадрата $A_2(0; 4)$, $B_2(-4; 8)$, $C_2(-8; 4)$, $D_2(-4; 0)$.