Номер 1.194, страница 41, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.194. Найдите пересечение и объединение множеств М и N, если М — множество всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10, N — множество всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.

1.195

$M=\left\{2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024\right\}$

$N=\left\{4; 16; 64; 256; 1024\right\}$

$M\cap N=\left\{4; 16; 64; 256; 1024\right\}$

$M\cup N=\left\{2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024\right\}$

Для нахождения пересечения и объединения множеств M и N, сначала определим их элементы.

Множество M, по условию, является множеством всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10.
Его можно записать как $M = \{2^k \mid k \in \{1, 2, ..., 10\}\}$.
Вычислим элементы множества M:
$M = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\}$.

Множество N является множеством всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.
Его можно записать как $N = \{4^k \mid k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\}$.
Вычислим элементы множества N:
$N = \{4, 16, 64, 256, 1024\}$.

Пересечение
Пересечение множеств $M \cap N$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству M, и множеству N. Чтобы найти общие элементы, можно представить элементы множества N как степени числа 2. Так как $4 = 2^2$, то каждый элемент множества N вида $4^k$ можно записать как $(2^2)^k = 2^{2k}$.
$N = \{2^{2 \cdot 1}, 2^{2 \cdot 2}, 2^{2 \cdot 3}, 2^{2 \cdot 4}, 2^{2 \cdot 5}\} = \{2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10}\}$.
Все элементы множества N ($2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10}$) являются также элементами множества M, поскольку их показатели (2, 4, 6, 8, 10) входят в диапазон показателей для M (от 1 до 10). Это означает, что множество N является подмножеством множества M ($N \subset M$).
Пересечением множества и его подмножества является само подмножество. Следовательно, пересечение M и N равно N.

Ответ: $M \cap N = \{4, 16, 64, 256, 1024\}$.

Объединение
Объединение множеств $M \cup N$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.
Поскольку мы установили, что все элементы множества N уже содержатся в множестве M ($N \subset M$), объединение этих множеств не добавит новых элементов и будет равно самому множеству M.

Ответ: $M \cup N = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\}$.