Номер 2.61, страница 51, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.61. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 21 и 84; б) 27 и 81; в) 32 и 96; г) 75 и 300.

2.61

а) НОД (21, 84) = 21, т.к. 84 кратно 21

б) НОД (27, 81) = 27, т.к. 81 кратно 27

в) НОД (32, 96) = 32, т.к. 96 кратно 32

г) НОД (75, 300) = 75, т.к. 300 кратно 75

а) 21 и 84;

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.

Разложение числа 21 на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$

Разложение числа 84 на простые множители:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях являются 3 и 7. Наименьший показатель степени для множителя 3 равен 1, для множителя 7 также равен 1.
НОД(21, 84) = $3^1 \cdot 7^1 = 21$.

Также можно заметить, что число 84 делится на 21 без остатка ($84 = 4 \cdot 21$). Если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Ответ: 21

б) 27 и 81;

Разложим числа 27 и 81 на простые множители.

Разложение числа 27:
$27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Разложение числа 81:
$81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Общим простым множителем является число 3. Наименьший показатель степени, с которым 3 входит в оба разложения, равен 3.
Следовательно, НОД(27, 81) = $3^3 = 27$.

Так как 81 является кратным 27 ($81 = 3 \cdot 27$), то их наибольший общий делитель равен 27.
Ответ: 27

в) 32 и 96;

Разложим числа 32 и 96 на простые множители.

Разложение числа 32:
$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5$

Разложение числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2^5 \cdot 3$

Общим простым множителем является число 2. Наименьший показатель степени для множителя 2 равен 5.
Следовательно, НОД(32, 96) = $2^5 = 32$.

Так как 96 делится на 32 ($96 = 3 \cdot 32$), то их наибольший общий делитель равен 32.
Ответ: 32

г) 75 и 300.

Разложим числа 75 и 300 на простые множители.

Разложение числа 75:
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$

Разложение числа 300:
$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Общими простыми множителями являются 3 и 5. Наименьший показатель степени для 3 равен 1, а для 5 равен 2.
Следовательно, НОД(75, 300) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

Так как 300 делится на 75 ($300 = 4 \cdot 75$), то их наибольший общий делитель равен 75.
Ответ: 75