Номер 2.59, страница 51, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.59. Назовите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел m и n, если:

а) m = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 и n = 2 · 3 · 3 · 3 · 5;

б) m = 2 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 и n = 3 · 3 · 5 · 7 · 7.

2.59

а) m = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

n = 2 • 3 • 3 • 3 • 5

НОД (m, n) = 2 • 3 • 3 = 18

б) m = 2 • 5 • 5 • 7 • 7

n = 3 • 3 • 5 • 7 • 7

НОД (m, n) = 5 • 7 • 7 = 5 • 49 = 245

а) Даны разложения чисел $m$ и $n$ на простые множители:
$m = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$n = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

Чтобы найти разложение на простые множители наибольшего общего делителя (НОД), нужно найти общие простые множители в разложениях обоих чисел и для каждого такого множителя взять наименьшее число его вхождений.

Общими простыми множителями для $m$ и $n$ являются $2$ и $3$.

- Множитель $2$ входит в разложение числа $m$ три раза, а в разложение числа $n$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.
- Множитель $3$ входит в разложение числа $m$ два раза, а в разложение числа $n$ — три раза. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть два раза.
- Множитель $5$ не является общим, так как он есть только в разложении $n$.

Таким образом, разложение НОД($m, n$) на простые множители состоит из одного множителя $2$ и двух множителей $3$.

Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 3$.

б) Даны разложения чисел $m$ и $n$ на простые множители:
$m = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$
$n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$

Аналогично предыдущему пункту, находим общие простые множители и их наименьшее количество вхождений.

Общими простыми множителями для $m$ и $n$ являются $5$ и $7$.

- Множитель $5$ входит в разложение числа $m$ два раза, а в разложение числа $n$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.
- Множитель $7$ входит в разложение числа $m$ три раза, а в разложение числа $n$ — два раза. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть два раза.
- Множители $2$ и $3$ не являются общими.

Следовательно, разложение НОД($m, n$) на простые множители состоит из одного множителя $5$ и двух множителей $7$.

Ответ: $5 \cdot 7 \cdot 7$.