Номер 3.2, страница 121, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.2. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел:

а) 0,5 : 2,5; б) 6417 : 1917; в) 1,65 : 6512.

3.2

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,5 : 2,5 = 5 : 25 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} = \frac{1}{5} = 1 : 5;$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 6\frac{4}{17} : \frac{19}{17} = \frac{106}{17} : \frac{19}{17} = \\ = \frac{106}{\cancel{17}} · \frac{\cancel{17}}{19}=\frac{106}{19} = 106 : 19; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1,65 : 6\frac{5}{12} = 1\frac{65}{100} : \frac{77}{12} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{33}{\cancel{165}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}} · \frac{12}{77} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{20}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{77}}}} = \frac{3 · 3}{5 · 7} = \frac{9}{35}= \\ = 9 : 35. \end{gathered}$$

а) Чтобы заменить отношение дробных чисел $0,5 : 2,5$ равным ему отношением целых чисел, необходимо избавиться от запятой в десятичных дробях. Для этого умножим оба члена отношения на 10, так как у каждого числа один знак после запятой. Умножение обеих частей отношения на одно и то же число не меняет само отношение.

$0,5 \cdot 10 : 2,5 \cdot 10 = 5 : 25$

Полученное отношение $5 : 25$ можно сократить. Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 5 и 25. НОД(5, 25) = 5. Разделим обе части отношения на 5:

$5 \div 5 : 25 \div 5 = 1 : 5$

Ответ: $1 : 5$.

б) В отношении $6\frac{4}{17} : \frac{19}{17}$ сначала преобразуем смешанное число $6\frac{4}{17}$ в неправильную дробь.

$6\frac{4}{17} = \frac{6 \cdot 17 + 4}{17} = \frac{102 + 4}{17} = \frac{106}{17}$

Теперь отношение выглядит так: $\frac{106}{17} : \frac{19}{17}$.

Оба члена отношения имеют одинаковый знаменатель 17. Чтобы получить отношение целых чисел, умножим обе части на этот знаменатель:

$\frac{106}{17} \cdot 17 : \frac{19}{17} \cdot 17 = 106 : 19$

Число 19 является простым. Проверим, делится ли 106 на 19 без остатка: $106 \div 19 \approx 5,58$. Деление не является целочисленным, значит, отношение $106 : 19$ является несократимым.

Ответ: $106 : 19$.

в) В отношении $1,65 : 6\frac{5}{12}$ представлены числа разных типов: десятичная дробь и смешанное число. Чтобы с ними работать, приведем их к одному виду — к обыкновенным дробям.

Преобразуем $1,65$ в обыкновенную дробь и сократим ее:

$1,65 = 1\frac{65}{100} = 1\frac{13}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 13}{20} = \frac{33}{20}$

Преобразуем $6\frac{5}{12}$ в неправильную дробь:

$6\frac{5}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{72 + 5}{12} = \frac{77}{12}$

Теперь отношение имеет вид: $\frac{33}{20} : \frac{77}{12}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 20 и 12. НОК(20, 12) = 60.

$\frac{33}{20} \cdot 60 : \frac{77}{12} \cdot 60$

$(33 \cdot 3) : (77 \cdot 5)$

$99 : 385$

Теперь сократим полученное отношение. Найдем НОД(99, 385). Разложив на множители ($99 = 9 \cdot 11$, $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$), видим, что НОД = 11.

$99 \div 11 : 385 \div 11 = 9 : 35$

Ответ: $9 : 35$.