Номер 14, страница 118, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

14. Задача Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублёв и кафтан. Но тот, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, а коликие цены оный кафтан был.

14.

Пусть х р. стоит кафтан, а зарплата за год – (12 + х), тогда: $\frac{12 + х}{12}$ - зарплата за месяц, а за 7 месяцев – (5 + х), тогда за месяц - $\frac{5 + х}{7}$.

$$\begin{gathered} \frac{12 + х}{12} = \frac{5 + х}{7}; \\ 7 (12 + х) = 12 (5 + х); \\ 84 + 7х = 60 + 12х; \\ 12 х - 7 х = 84 - 60; \\ 5х = 24 \\ х = 24 : 5; \end{gathered}$$

$х = 4,8$ (р.)-стоит кафтан

Ответ: 4,8 р.

Решение

Это классическая задача из «Арифметики» Леонтия Магницкого. Для ее решения введем переменную.

Пусть цена кафтана равна $K$ рублей.

Согласно условию, плата за год работы (12 месяцев) была обещана в размере 12 рублей и кафтана. Таким образом, общая стоимость годовой работы составляет:

Годовая плата = $12 + K$ рублей.

Исходя из этого, мы можем рассчитать стоимость одного месяца работы, разделив годовую плату на 12:

Стоимость 1 месяца работы = $ \frac{12 + K}{12} $ рублей.

Работник проработал 7 месяцев. Следовательно, ему полагалась плата, пропорциональная отработанному времени:

Плата за 7 месяцев = $ 7 \times \frac{12 + K}{12} $ рублей.

В то же время, из условия известно, что за 7 месяцев он получил 5 рублей и кафтан. То есть, его фактическая плата составила:

Фактическая плата = $5 + K$ рублей.

Теперь мы можем приравнять расчетную плату за 7 месяцев к фактической и составить уравнение для нахождения цены кафтана $K$:

$$ 5 + K = \frac{7(12 + K)}{12} $$

Решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дроби:

$$ 12(5 + K) = 7(12 + K) $$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$$ 60 + 12K = 84 + 7K $$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $K$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$$ 12K - 7K = 84 - 60 $$

Выполним вычитание:

$$ 5K = 24 $$

Наконец, найдем значение $K$:

$$ K = \frac{24}{5} = 4.8 $$

Таким образом, цена кафтана составляет 4,8 рубля (или 4 рубля 80 копеек).

Проверка

Проверим полученный результат. Если кафтан стоит 4,8 рубля, то общая годовая плата составляет $12 + 4.8 = 16.8$ рублей.

Стоимость одного месяца работы в таком случае равна $16.8 \div 12 = 1.4$ рубля.

За 7 месяцев работы плата должна составить $7 \times 1.4 = 9.8$ рубля.

По условию задачи работник получил 5 рублей и кафтан, что составляет $5 + 4.8 = 9.8$ рубля.

Так как расчетное значение совпало с фактическим, задача решена верно.

Ответ: цена кафтана была 4,8 рубля.