Номер 11, страница 117, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

11. Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий — 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын — 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т. д.». Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.

11.

Пусть х р. составляют сбережения.

$1000 + \frac{1}{8} · \left(х - 1000\right)=875 + \frac{1}{8} х$ - получит первый

$х - 875 - \frac{1}{8} х = \frac{7}{8} х - 875$ - остаток после первого сына

$$\begin{gathered} 2000 + \frac{1}{8} · \left(\frac{7}{8} х - 875 - 2000\right)= \\ = 2000 + \frac{7}{64}х - 359\frac{3}{8} = \end{gathered}$$

$= \frac{7}{64}х + 1640\frac{5}{8}$-получит второй

$$\begin{gathered} \frac{1}{8}х + 875 = \frac{7}{64}х + 1640\frac{5}{8} \\ {\frac{1}{8}}^{\overline{)·8}}х - \frac{7}{64}х = 1640\frac{5}{8} - 875 \\ \frac{1}{64} х = 765\frac{5}{8} \\ х = 765\frac{5}{8} : \frac{1}{64} = \frac{6125}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} ·\stackrel{8}{ \cancel{64} }= 6125 · 8 \end{gathered}$$

$х = 49000$ (р.)-сбережения

$875 + \frac{1}{8} · 49000 = 7000$ (р.) - получил каждый

$49000 : 7000=7$(сыновей)

Ответ: 7 сыновей; 49000 р.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — общая сумма завещанных сбережений.
• $n$ — число сыновей.
• $D$ — доля каждого сына (по условию задачи, доли всех сыновей равны).

Распишем доли первого и второго сыновей, чтобы использовать условие их равенства.

Доля первого сына ($D_1$): он получает 1000 рублей и восьмую часть остатка ($S - 1000$).

$D_1 = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$

Доля второго сына ($D_2$): он получает свою долю из остатка после первого сына. Этот остаток ($R_2$) равен $S - D_1$. Второй сын получает 2000 рублей и восьмую часть нового остатка ($R_2 - 2000$).

$D_2 = 2000 + \frac{R_2 - 2000}{8} = 2000 + \frac{(S - D_1) - 2000}{8}$

Поскольку все доли равны, то $D_1 = D_2 = D$. Приравняем выражения для долей:

$1000 + \frac{S - 1000}{8} = 2000 + \frac{S - D - 2000}{8}$

В этом уравнении $D$ — это доля, которую мы ищем. Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$8000 + (S - 1000) = 16000 + (S - D - 2000)$

$S + 7000 = S + 14000 - D$

Вычтем $S$ из обеих частей уравнения:

$7000 = 14000 - D$

Отсюда находим долю каждого сына:

$D = 14000 - 7000 = 7000$ рублей.

Теперь, зная размер доли, мы можем найти общую сумму наследства $S$, используя формулу для доли первого сына:

$7000 = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$

$6000 = \frac{S - 1000}{8}$

$6000 \cdot 8 = S - 1000$

$48000 = S - 1000$

$S = 49000$ рублей.

Наконец, определим число сыновей, разделив общую сумму наследства на долю одного сына:

$n = \frac{S}{D} = \frac{49000}{7000} = 7$

Таким образом, мы нашли оба искомых значения.

Число сыновей

После определения общей суммы наследства (49 000 рублей) и доли каждого наследника (7 000 рублей), число сыновей находится их делением: $n = \frac{49000}{7000} = 7$.

Ответ: 7 сыновей.

Размер завещанных сбережений

Из условия равенства долей первого и второго сыновей было выведено, что доля каждого сына составляет 7000 рублей. Подставив это значение в формулу для доли первого сына, мы находим общую сумму сбережений: $S = (7000 - 1000) \cdot 8 + 1000 = 49000$ рублей.

Ответ: 49 000 рублей.