Номер 12, страница 117, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

12. Надпись на гробнице знаменитого древнего математика Диофанта составлена в виде математической задачи.

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла ещё жизни — покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провёл Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

12.

Пусть х лет - прожил Диофант, тогда получаем:

$$\begin{gathered} \frac{1}{6} х - \mathrm{детсво}; \\ \frac{1}{12} \mathrm{х} - \mathrm{юность}; \\ \frac{1}{7} \mathrm{х} - \mathrm{в} \mathrm{браке}; \\ \frac{1}{2} \mathrm{х} - \mathrm{сын} \mathrm{прожил}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\frac{1}{6}}^{\overline{)·14}} х + {\frac{1}{12}}^{\overline{)·7}} х + {\frac{1}{7}}^{\overline{)·12}} х + 5 + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·42}} х + 4 =х; \\ \frac{14}{84} х + \frac{7}{84} х + \frac{12}{84} х + \frac{42}{84} х + 5 + 4 =х; \\ \frac{75}{84} х + 9 =х; \\ х - \frac{75}{84} х = 9; \\ \left(\frac{84}{84} - \frac{75}{84}\right) х =9; \\ \frac{9}{84} х = 9; \\ х = 9 : \frac{9}{84}; \\ х = \cancel{9} · \frac{84}{\cancel{9}}; \end{gathered}$$

$х = 84$ (года)-прожил Диофант

Ответ: 84 года.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, основываясь на данных из текста. Пусть $x$ — это общее количество лет, которое прожил Диофант. Вся его жизнь разделена на несколько периодов, сумма которых и будет равна $x$.

Опишем каждый период жизни Диофанта в виде математического выражения, исходя из условия задачи:

• Детство: «Часть шестую его представляло прекрасное детство» — это $\frac{1}{6}$ его жизни, то есть $\frac{x}{6}$.
• Юность: «Двенадцатая часть протекла ещё жизни» — это $\frac{1}{12}$ его жизни, то есть $\frac{x}{12}$.
• Бездетный брак: «Седьмую в бездетном браке провёл Диофант» — это $\frac{1}{7}$ его жизни, то есть $\frac{x}{7}$.
• Ожидание первенца: «Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына» — это 5 лет.
• Жизнь сына: «Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом» — сын прожил половину жизни Диофанта, то есть $\frac{x}{2}$.
• Жизнь после смерти сына: «...переживши года четыре с тех пор, как сына лишился» — это 4 года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта. Составим уравнение:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим правую часть, сложив числа:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2} = 9$

Чтобы выполнить вычитание, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6, 12, 7 и 2 равно 84. Выразим левую часть уравнения с этим знаменателем:

$\frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84} = 9$

Объединим дроби в левой части:

$\frac{(84 - 14 - 7 - 12 - 42)x}{84} = 9$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{9x}{84} = 9$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 84 и разделим на 9:

$9x = 9 \cdot 84$

$x = 84$

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Ответ: Диофант умер в возрасте 84 лет.