Номер 5.113, страница 93, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5.113. При каких значениях а неверно неравенство:

а) a < –a; б) –a < a; в) |–а| > a; г) |a| > –a?

5.113

а) а < -a равенство неверно при а > 0

б) -а < a равенство неверно при а < 0

в) |а| > a равенство неверно при а ≥ 0

г) |а| > -a равенство неверно при а ≤ 0

а) Неравенство $a < -a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $a \ge -a$.
Решим это неравенство, прибавив a к обеим частям:
$a + a \ge -a + a$
$2a \ge 0$
Разделив обе части на 2, получим:
$a \ge 0$
Таким образом, исходное неравенство неверно для всех неотрицательных значений a.
Ответ: при $a \ge 0$.

б) Неравенство $-a < a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $-a \ge a$.
Решим это неравенство, прибавив a к обеим частям:
$-a + a \ge a + a$
$0 \ge 2a$
Разделив обе части на 2, получим:
$0 \ge a$, что эквивалентно $a \le 0$.
Таким образом, исходное неравенство неверно для всех неположительных значений a.
Ответ: при $a \le 0$.

в) Неравенство $|-a| > a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $|-a| \le a$.
По свойству модуля $|-a| = |a|$, поэтому неравенство можно переписать в виде: $|a| \le a$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le a$. Это тождество верно для всех $a \ge 0$.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-a \le a$, что равносильно $0 \le 2a$, или $a \ge 0$. Это противоречит начальному условию этого случая ($a < 0$), следовательно, здесь решений нет.
Объединяя результаты, мы видим, что неравенство $|-a| \le a$ выполняется при $a \ge 0$. Значит, исходное неравенство неверно при этих значениях.
Ответ: при $a \ge 0$.

г) Неравенство $|a| > -a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $|a| \le -a$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le -a$, что равносильно $2a \le 0$, или $a \le 0$. Единственное значение, которое удовлетворяет одновременно условиям $a \ge 0$ и $a \le 0$, это $a = 0$.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-a \le -a$. Это тождество верно для всех $a < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев ($a=0$ и $a<0$), получаем, что исходное неравенство неверно при $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.