Номер 6.111, страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.111. Найдите два числа, если их сумма равна 125 и 12 одного числа равна 34 другого.

6.111

Пусть х – одно число, тогда (125 – х) – другое число, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}х = \frac{3}{4}\left(125 - х\right); \overline{) · 4} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}х · \stackrel{2}{\bcancel{4}} = \frac{3}{\cancel{4}}\left(125 - х\right) · \cancel{4}; \\ \frac{1}{1}х · 2 = \frac{3}{1}\left(125 - х\right) · 1; \\ 2х = 3(125 – х); \\ 2х = 375 – 3х; \\ 2х + 3х = 375; \\ 5х = 375; \\ х = 375 : 5; \end{gathered}$$

х = 75 – одно число

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }125 – 75 = 50$ – другое число.

Ответ: 75 и 50.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть первое искомое число будет $x$, а второе — $y$.

Согласно условию, сумма этих двух чисел равна 125. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 125$

Также в условии сказано, что $\frac{1}{2}$ первого числа равна $\frac{3}{4}$ второго. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{2}x = \frac{3}{4}y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 125 \\ \frac{1}{2}x = \frac{3}{4}y \end{cases} $

Для решения системы выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$2 \cdot \frac{1}{2}x = 2 \cdot \frac{3}{4}y$

$x = \frac{6}{4}y$

Сократим дробь:

$x = \frac{3}{2}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(\frac{3}{2}y) + y = 125$

Чтобы решить это уравнение относительно $y$, сложим коэффициенты при $y$:

$\frac{3}{2}y + \frac{2}{2}y = 125$

$\frac{5}{2}y = 125$

Теперь найдем $y$, умножив обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$y = 125 \cdot \frac{2}{5}$

$y = \frac{125 \cdot 2}{5} = \frac{250}{5}$

$y = 50$

Мы нашли второе число. Теперь, чтобы найти первое число $x$, подставим значение $y = 50$ в выражение $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 50$

$x = 3 \cdot \frac{50}{2}$

$x = 3 \cdot 25$

$x = 75$

Таким образом, искомые числа — это 75 и 50.

Выполним проверку:

1. Проверим сумму: $75 + 50 = 125$. Это соответствует условию.

2. Проверим соотношение: $\frac{1}{2}$ от 75 равна $75 \div 2 = 37.5$. $\frac{3}{4}$ от 50 равна $(3 \cdot 50) \div 4 = 150 \div 4 = 37.5$. Это также соответствует условию.

Ответ: 75 и 50.