Номер 6.104, страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.104. Какая последняя цифра у значения разности 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 26 · 27 – 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 25 · 27?

6.104

$1 · 2 · 3 · 4 · \dots · 26 · 27 - 1 · 3 · 5 · 7 · \dots · 25 · 27 = \dots 5$

Уменьшаемое оканчивается на 0, потому что среди множителей есть число 10 (а так же пары множителей на 2 и 5)

Вычитаемое оканчивается на 5, потому что множители состоят только из нечётных чисел и там присутствует 5

Так как уменьшаемое оканчивается на 0, а вычитаемое на 5, то разность будет оканчивается на 5.

Ответ: цифра 5

Для того чтобы определить последнюю цифру значения разности, необходимо найти последнюю цифру уменьшаемого и последнюю цифру вычитаемого, а затем найти последнюю цифру результата их вычитания.

Исходное выражение: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 26 \cdot 27) - (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 27)$.

Сначала определим последнюю цифру уменьшаемого: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 26 \cdot 27$.

Это произведение, также известное как факториал $27!$, содержит в качестве множителей как четные числа (например, 2, 4, 6, ...), так и числа, оканчивающиеся на 5 (5, 15, 25). Произведение любого четного числа на число, оканчивающееся на 5, дает в результате число, оканчивающееся на 0. Например, $2 \cdot 5 = 10$. Так как в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 27$ есть множители 2 и 5, то результат будет кратен 10. Следовательно, последняя цифра этого произведения равна 0.

Теперь определим последнюю цифру вычитаемого: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 27$.

Это произведение состоит только из нечетных множителей. Один из множителей равен 5. При умножении числа 5 на любое нечетное число результат всегда будет оканчиваться на 5 (например, $1 \cdot 5 = 5$, $3 \cdot 5 = 15$, $7 \cdot 5 = 35$). Поскольку все множители в данном произведении нечетные, то их итоговое произведение будет оканчиваться на 5.

Наконец, найдем последнюю цифру разности. Нам нужно из числа, оканчивающегося на 0, вычесть число, оканчивающееся на 5. Уменьшаемое ($27!$) очевидно больше вычитаемого. При вычитании в столбик из 0 в разряде единиц нужно вычесть 5. Для этого мы "занимаем" десяток из старшего разряда, и вычисление сводится к $10 - 5 = 5$. Таким образом, последняя цифра разности будет 5.

Ответ: 5