Номер 6.99, страница 115, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.99. Отметьте на координатной плоскости точки М(0; 6), N(–2; 6), Р(–4; –6), Q(4; 10). Найдите по рисунку координаты точки пересечения прямых MN и PQ.

6.99

(2; 6) – точка пересечения прямых MN и PQ

Отметьте на координатной плоскости точки M(0; 6), N(-2; 6), P(-4; -6), Q(4; 10)

Для начала построим прямоугольную (декартову) систему координат Oxy. Затем отметим на ней заданные точки: M(0; 6), N(-2; 6), P(-4; -6) и Q(4; 10).

После этого проведем прямую через точки M и N. Так как у этих точек одинаковая координата y, равная 6, прямая MN будет горизонтальной линией, параллельной оси Ox.

Далее проведем прямую через точки P и Q.

Графическое построение представлено на рисунке ниже.

Найдите по рисунку координаты точки пересечения прямых MN и PQ

На рисунке видно, что прямая MN (синяя линия) и прямая PQ (зеленая линия) пересекаются в точке, которую мы обозначили буквой K. Чтобы определить ее координаты, спроецируем ее на оси координат. Проекция точки K на ось абсцисс (ось Ox) дает значение $x = 2$, а проекция на ось ординат (ось Oy) дает значение $y = 6$.

Таким образом, координаты точки пересечения K равны (2; 6).

Проверка (аналитический способ):
1. Найдем уравнение прямой MN. Так как у точек M(0; 6) и N(-2; 6) ординаты равны, уравнение этой прямой: $y = 6$.
2. Найдем уравнение прямой PQ, проходящей через точки P(-4; -6) и Q(4; 10), в виде $y = kx + b$.
Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{10 - (-6)}{4 - (-4)} = \frac{16}{8} = 2$.
Теперь уравнение имеет вид $y = 2x + b$. Подставим координаты точки Q(4; 10), чтобы найти $b$: $10 = 2 \cdot 4 + b \Rightarrow 10 = 8 + b \Rightarrow b = 2$.
Следовательно, уравнение прямой PQ: $y = 2x + 2$.
3. Найдем точку пересечения, решив систему уравнений: $\begin{cases} y = 6 \\ y = 2x + 2 \end{cases}$.
Подставим значение $y$ из первого уравнения во второе: $6 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Координаты точки пересечения (2; 6). Результат, полученный графически, подтвердился аналитическим расчетом.

Ответ: (2; 6).