Номер 6.123, страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.121. Лодка прошла 80 км до устья реки и вернулась обратно. Чему равна средняя скорость лодки на всём пути, если скорость течения 4 км/ч, а скорость движения лодки до устья реки 20 км/ч?

6.123

S_{по течению} = S_{против течения} = 80 км
v _{по течению} = 20 км/ч
v_{течения} = 4 км/ч
v_{средняя} - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }20 – 4 – 4 = 12$ (км/ч) – скорость лодки от устья реки

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }80 : 20 = 4$ (ч) – время движения лодки до устья реки

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }80 : 12 = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ (ч) – время движения лодки от устья реки

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }4 + 6\frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$ (ч) – общее время движения лодки

$\mathbf{5}\mathbf{)} 80 + 80 = 160$ (км) – общее расстояние

$\mathbf{6}\mathbf{)} 160 : 10\frac{2}{3}= 160 : \frac{32}{3} = \stackrel{5}{\cancel{160}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = 5 · 3 = 15$(км/ч) – средняя скорость лодки

Ответ: 15 км/ч.

Для определения средней скорости лодки на всём пути, необходимо разделить общее пройденное расстояние на общее затраченное время. Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Сначала определим собственную скорость лодки. В условии сказано, что скорость движения лодки до устья реки равна 20 км/ч. Движение к устью — это движение по течению. Скорость по течению ($v_{по}$) является суммой собственной скорости лодки ($v_{л}$) и скорости течения ($v_{т} = 4$ км/ч).

$v_{по} = v_{л} + v_{т}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$v_{л} = v_{по} - v_{т} = 20 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

На обратном пути лодка движется против течения. Её скорость ($v_{пр}$) будет равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_{л} - v_{т} = 16 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем время, затраченное на каждый участок пути. Расстояние в одну сторону равно 80 км.

Время движения по течению:

$t_{по} = \frac{80 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Время движения против течения:

$t_{пр} = \frac{80 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{20}{3} \text{ ч}$

Общее расстояние, пройденное лодкой, составляет $S_{общ} = 80 \text{ км} + 80 \text{ км} = 160$ км. Общее время в пути равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_{по} + t_{пр} = 4 \text{ ч} + \frac{20}{3} \text{ ч} = \frac{12}{3} \text{ ч} + \frac{20}{3} \text{ ч} = \frac{32}{3} \text{ ч}$

Наконец, вычисляем среднюю скорость на всём пути:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{160 \text{ км}}{\frac{32}{3} \text{ ч}} = \frac{160 \cdot 3}{32} \text{ км/ч} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость лодки на всём пути равна 15 км/ч.