Номер 51, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.51. На координатной плоскости постройте треугольник с вершинами М(3; −5), N(−5; 3) и Р(−3; 5). По рисунку найдите координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

П.51

(0; 0) и (0; -2) – с осью у

(0; 0) и (-2; 0) – с осью х

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить треугольник по заданным координатам вершин, а затем найти точки, в которых его стороны пересекают оси координат.

1. Построение треугольника MNP

На координатной плоскости отметим точки M(3; -5), N(-5; 3) и P(-3; 5). Соединив эти точки отрезками, мы получим треугольник MNP.

• Вершина M(3; -5) находится в IV координатной четверти.
• Вершина N(-5; 3) находится во II координатной четверти.
• Вершина P(-3; 5) находится во II координатной четверти.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат

Рассмотрим каждую сторону треугольника и определим, пересекает ли она оси Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат).

Сторона MN

Сторона MN соединяет точки M(3; -5) и N(-5; 3). Так как одна вершина находится в IV четверти, а другая во II, эта сторона пересекает обе оси координат. По построенному рисунку можно определить, что:

• Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$) — это точка с координатами (-2; 0).
• Точка пересечения с осью Oy (где $x=0$) — это точка с координатами (0; -2).

Сторона NP

Сторона NP соединяет точки N(-5; 3) и P(-3; 5). Обе эти точки находятся во II координатной четверти ($x < 0, y > 0$). Следовательно, отрезок NP полностью лежит в этой четверти и не пересекает ни ось Ox, ни ось Oy.

Сторона MP

Сторона MP соединяет точки M(3; -5) и P(-3; 5). Эта сторона соединяет II и IV четверти. Из рисунка видно, что она проходит через начало координат. Таким образом, точка пересечения с обеими осями одна и та же:

• Точка пересечения с осями Ox и Oy — это точка (0; 0).

Для проверки точности определения координат по рисунку можно найти их аналитически.

Проверка аналитическим методом

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.

• Прямая MN (через M(3; -5) и N(-5; 3)):
  $ \frac{y - (-5)}{x - 3} = \frac{3 - (-5)}{-5 - 3} \Rightarrow \frac{y + 5}{x - 3} = \frac{8}{-8} = -1 $
  $ y + 5 = -1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y = -x - 2 $
  При $x=0$, $y=-2$. Точка (0; -2).
  При $y=0$, $0 = -x - 2 \Rightarrow x=-2$. Точка (-2; 0).
• Прямая MP (через M(3; -5) и P(-3; 5)):
  $ \frac{y - 5}{x - (-3)} = \frac{-5 - 5}{3 - (-3)} \Rightarrow \frac{y - 5}{x + 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} $
  $ 3(y - 5) = -5(x + 3) \Rightarrow 3y - 15 = -5x - 15 \Rightarrow 3y = -5x \Rightarrow y = -\frac{5}{3}x $
  При $x=0$, $y=0$. Точка (0; 0).
  При $y=0$, $x=0$. Точка (0; 0).

Аналитический расчет подтверждает координаты точек, найденные по рисунку.

Ответ: Координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат: $(-2; 0)$, $(0; -2)$ и $(0; 0)$.