Номер 53, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.53. Постройте квадрат MNPK, если М(−2; 4), N(2; 8), Р(6; 4) и К(2; 0). Проведите отрезки через точки М и Р и точки N и К. Найдите по рисунку координаты точки О, в которой пересекаются отрезки МР и NK.

П.53

О (2; 4)

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые действия: построение, проведение отрезков и нахождение координат точки их пересечения.

1. Начертим прямоугольную систему координат Oxy.

2. Отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами: $M(-2; 4)$, $N(2; 8)$, $P(6; 4)$ и $K(2; 0)$.

3. Соединим последовательно точки M, N, P, K отрезками, чтобы получить четырехугольник MNPK.

4. Проведем отрезки MP и NK, которые являются диагоналями этого четырехугольника.

Ниже представлен рисунок, на котором выполнены все построения.

Точка O является точкой пересечения диагоналей MP и NK.

1. Графический способ (по рисунку)
Как видно из построенного графика, диагонали пересекаются в точке O. Чтобы найти ее координаты, опустим перпендикуляры из точки O на оси координат. Перпендикуляр на ось Ox попадает в точку $x=2$, а перпендикуляр на ось Oy попадает в точку $y=4$. Следовательно, координаты точки O равны (2; 4).

2. Аналитический способ (для проверки)
Диагонали квадрата (как и любого параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что точка O является серединой диагонали MP, а также серединой диагонали NK. Найдем координаты середины отрезка MP по формулам:
$x_O = \frac{x_M + x_P}{2}$; $y_O = \frac{y_M + y_P}{2}$
Подставим координаты точек $M(-2; 4)$ и $P(6; 4)$:
$x_O = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Получаем, что координаты точки $O(2; 4)$.
Проверим результат, вычислив координаты середины диагонали NK с точками $N(2; 8)$ и $K(2; 0)$:
$x_O = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{8 + 0}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Результаты совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $O(2; 4)$