Номер 59, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.59. Навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 34,5 км, выехали велосипедист и мотоциклист. До встречи велосипедист проехал 518 пути мотоциклиста. Сколько часов был в пути мотоциклист, если его скорость на 32,5 км/ч больше скорости велосипедиста?

П.59

Пусть х км – проехал мотоциклист, тогда $\frac{5}{18} х$ км – проехал велосипедист. Зная, что вместе они проехал 34,5 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{5}{18} х = 34,5; \\ 1\frac{5}{18} х = 34,5; \\ \frac{23}{18} х = 34\frac{1}{2}; \\ х = \frac{69}{2} : \frac{23}{18}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{69}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{23}}}}; \\ х = \frac{3 · 9}{1 · 1}; \end{gathered}$$

х = 27 (км) - проехал мотоциклист;

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{5}{18} · 27 = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} = \frac{5 · 3}{2} = 7,5$ (км) – проехал велосипедист

$\mathbf{2}\mathbf{)} 27 – 7,5 = 19,5$(км) – проехал больше мотоциклист;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ } 19,5 : 32,5 = 195 : 325 = 0,6$ (ч) был в пути мотоциклист.

Ответ: 0,6 ч

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S_в$ и $v_в$ — расстояние и скорость велосипедиста, а $S_м$ и $v_м$ — расстояние и скорость мотоциклиста. Общее расстояние $S_{общ} = 34,5$ км. Время до встречи $t$ для обоих участников движения одинаково.

1. Найдем расстояние, которое проехал каждый до встречи.

По условию, велосипедист и мотоциклист двигались навстречу друг другу, значит, сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между пунктами:

$S_в + S_м = 34,5$

Также из условия известно, что расстояние, которое проехал велосипедист, составляет $\frac{5}{18}$ пути мотоциклиста:

$S_в = \frac{5}{18} S_м$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{18} S_м + S_м = 34,5$

$\frac{5}{18} S_м + \frac{18}{18} S_м = 34,5$

$\frac{23}{18} S_м = 34,5$

Теперь найдем расстояние, которое проехал мотоциклист:

$S_м = 34,5 \cdot \frac{18}{23} = \frac{345}{10} \cdot \frac{18}{23} = \frac{15 \cdot 23}{10} \cdot \frac{18}{23} = \frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{270}{10} = 27$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S_в = 34,5 - S_м = 34,5 - 27 = 7,5$ км.

2. Найдем скорости велосипедиста и мотоциклиста.

По условию, скорость мотоциклиста на 32,5 км/ч больше скорости велосипедиста:

$v_м = v_в + 32,5$

Так как время до встречи у них одинаковое, мы можем приравнять время, выраженное через расстояние и скорость для каждого ($t = S/v$):

$t = \frac{S_в}{v_в} = \frac{S_м}{v_м}$

Подставим известные нам значения расстояний и выражение для $v_м$:

$\frac{7,5}{v_в} = \frac{27}{v_в + 32,5}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7,5 \cdot (v_в + 32,5) = 27 \cdot v_в$

$7,5v_в + 7,5 \cdot 32,5 = 27v_в$

$7,5v_в + 243,75 = 27v_в$

$27v_в - 7,5v_в = 243,75$

$19,5v_в = 243,75$

$v_в = \frac{243,75}{19,5} = 12,5$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = 12,5 + 32,5 = 45$ км/ч.

3. Найдем время, которое мотоциклист был в пути.

Чтобы найти время, нужно расстояние, пройденное мотоциклистом, разделить на его скорость:

$t = \frac{S_м}{v_м} = \frac{27}{45}$

Сократим дробь:

$t = \frac{27}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{3}{5} = 0,6$ часа.

Ответ: мотоциклист был в пути 0,6 часа.