Номер 65, страница 133, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.65. Отметьте точки М(−3; 6), А(5; −10), Q(−7; −6), R(5; 0), S(−11; 2), T(−1; 7), Р(3; 2), Z(6; 11), А(−5; 5) и С(−8; −4) на координатной плоскости. Проведите прямые MN, QR, ST, PZ и АС. С помощью чертёжного треугольника и линейки найдите прямые, параллельные и перпендикулярные друг другу. Определите по рисунку координаты точки пересечения прямой PZ с осью у и прямой QR с осью х.

П.65

ST ∥ QR, AC ∥ PZ, ST ⊥ MN, QR ⊥ MN

(0; -7) – точка пересечения прямой PZ с осью у

(5; 0) – точка пересечения прямой QR с осью х

Для решения задачи выполним все шаги последовательно. Сначала построим точки и прямые на координатной плоскости (этот шаг выполняется мысленно или на бумаге), а затем аналитически проверим и найдем все требуемые параметры.

1. Нахождение параллельных и перпендикулярных прямых

Чтобы определить, являются ли прямые параллельными или перпендикулярными, нужно найти их угловые коэффициенты (наклоны). Угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$).

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).

Вычислим угловые коэффициенты для каждой прямой:

• Прямая MN, проходит через точки M(–3; 6) и N(5; –10):
  $k_{MN} = \frac{-10 - 6}{5 - (-3)} = \frac{-16}{8} = -2$
• Прямая QR, проходит через точки Q(–7; –6) и R(5; 0):
  $k_{QR} = \frac{0 - (-6)}{5 - (-7)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Прямая ST, проходит через точки S(–11; 2) и T(–1; 7):
  $k_{ST} = \frac{7 - 2}{-1 - (-11)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• Прямая PZ, проходит через точки P(3; 2) и Z(6; 11):
  $k_{PZ} = \frac{11 - 2}{6 - 3} = \frac{9}{3} = 3$
• Прямая AC, проходит через точки A(–5; 5) и C(–8; –4):
  $k_{AC} = \frac{-4 - 5}{-8 - (-5)} = \frac{-9}{-3} = 3$

Теперь сравним коэффициенты:

Параллельные прямые:

Сравниваем угловые коэффициенты. Видим, что $k_{QR} = k_{ST} = \frac{1}{2}$, значит, прямые QR и ST параллельны ($QR \parallel ST$).

Также видим, что $k_{PZ} = k_{AC} = 3$, значит, прямые PZ и AC параллельны ($PZ \parallel AC$).

Перпендикулярные прямые:

Проверяем условие $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Рассмотрим прямые MN ($k_{MN} = -2$) и QR ($k_{QR} = \frac{1}{2}$):

$k_{MN} \cdot k_{QR} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые MN и QR перпендикулярны ($MN \perp QR$).

Рассмотрим прямые MN ($k_{MN} = -2$) и ST ($k_{ST} = \frac{1}{2}$):

$k_{MN} \cdot k_{ST} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые MN и ST перпендикулярны ($MN \perp ST$).

Ответ: Параллельные прямые: $QR \parallel ST$ и $PZ \parallel AC$. Перпендикулярные прямые: $MN \perp QR$ и $MN \perp ST$.

2. Определение координат точки пересечения прямой PZ с осью y

Точка пересечения с осью y имеет координату $x = 0$. Чтобы найти координату y, составим уравнение прямой PZ. Используем точку P(3; 2) и угловой коэффициент $k_{PZ} = 3$. Уравнение прямой имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

$y - 2 = 3(x - 3)$

$y - 2 = 3x - 9$

$y = 3x - 7$

Теперь найдем значение y при $x=0$:

$y = 3 \cdot 0 - 7 = -7$

Координаты точки пересечения прямой PZ с осью y: (0; –7).

Ответ: Координаты точки пересечения прямой PZ с осью y равны (0; –7).

3. Определение координат точки пересечения прямой QR с осью x

Точка пересечения с осью x имеет координату $y = 0$. Из условия задачи мы знаем, что прямая QR проходит через точку R(5; 0). Так как у точки R координата y равна нулю, эта точка уже лежит на оси x. Следовательно, точка R и есть точка пересечения прямой QR с осью x.

Для проверки можно составить уравнение прямой QR, используя точку Q(–7; –6) и $k_{QR} = \frac{1}{2}$:

$y - (-6) = \frac{1}{2}(x - (-7))$

$y + 6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

Подставим $y=0$:

$0 + 6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

$6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

$12 = x + 7$

$x = 12 - 7 = 5$

Координаты точки пересечения: (5; 0).

Ответ: Координаты точки пересечения прямой QR с осью x равны (5; 0).