Номер 61, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.61. Постройте перпендикулярные прямые, отрезки, лучи.

П.61

прямые

отрезки

лучи

Перпендикулярными называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90°$). Понятие перпендикулярности также применяется к отрезкам и лучам: они считаются перпендикулярными, если лежат на перпендикулярных прямых. Для обозначения перпендикулярности используется символ $\perp$.

Построение перпендикулярных геометрических фигур можно выполнить классическим способом с помощью циркуля и линейки (без делений) или с помощью современных чертежных инструментов, таких как угольник или транспортир.

Рассмотрим основные способы построения перпендикулярных прямых.

Построение с помощью циркуля и линейки

Существует два основных случая:

1. Построение прямой, перпендикулярной данной прямой $a$ и проходящей через точку $M$, лежащую на этой прямой.
   • Установите ножку циркуля в точку $M$ и проведите окружность (или дугу) произвольного радиуса $r$, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
   • Из точек $A$ и $B$ проведите две дуги с одинаковым радиусом $R$, который должен быть больше, чем $r$ ($R > AM$).
   • Точку пересечения этих дуг назовем $N$.
   • Проведите прямую через точки $M$ и $N$. Прямая $MN$ будет перпендикулярна прямой $a$ ($MN \perp a$).
2. Построение прямой, перпендикулярной данной прямой $a$ и проходящей через точку $P$, не лежащую на этой прямой.
   • Установите ножку циркуля в точку $P$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух токах, назовем их $C$ и $D$.
   • Из точек $C$ и $D$ проведите две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $CD$) так, чтобы они пересеклись в точке $Q$.
   • Проведите прямую через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ будет перпендикулярна прямой $a$ ($PQ \perp a$).

Построение с помощью чертежных инструментов

• С помощью угольника: Приложите один из катетов угольника к данной прямой. Вдоль другого катета проведите новую прямую. Она будет перпендикулярна исходной.
• С помощью транспортира: На прямой отметьте точку. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с этой точкой, а основание — с прямой. У отметки $90°$ на шкале поставьте вторую точку. Соедините эти две точки прямой линией.

Ответ: Перпендикулярные прямые строятся путем проведения линии под углом $90°$ к исходной прямой. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр, или с помощью угольника или транспортира.

Два отрезка называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, перпендикулярны.

Алгоритм построения:

1. Постройте две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, используя один из методов, описанных выше. Пусть они пересекаются в точке $O$.
2. На прямой $a$ отметьте две точки, например, $A$ и $B$. Они образуют отрезок $AB$.
3. На прямой $b$ отметьте две точки, например, $C$ и $D$. Они образуют отрезок $CD$.
4. Так как $a \perp b$, то отрезки $AB$ и $CD$ также перпендикулярны ($AB \perp CD$).

Важно помнить, что перпендикулярные отрезки не обязательно должны пересекаться. Достаточно, чтобы содержащие их прямые были перпендикулярны.

Ответ: Для построения перпендикулярных отрезков необходимо сначала построить перпендикулярные прямые, а затем на этих прямых выбрать концы отрезков.

Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Чаще всего рассматривают перпендикулярные лучи, выходящие из одной точки.

Алгоритм построения:

1. Постройте две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$.
2. Точка $O$ будет общим началом для искомых лучей.
3. На прямой $a$ выберите любую точку $A$ (отличную от $O$). Вы получите луч $OA$.
4. На прямой $b$ выберите любую точку $B$ (отличную от $O$). Вы получите луч $OB$.
5. Лучи $OA$ и $OB$ перпендикулярны, так как они образуют прямой угол $\angle AOB = 90°$.

Как и отрезки, перпендикулярные лучи не обязаны иметь общее начало. Они перпендикулярны, если содержащие их прямые взаимно перпендикулярны.

Ответ: Для построения перпендикулярных лучей с общим началом следует построить две перпендикулярные прямые и из точки их пересечения провести лучи вдоль этих прямых.