Номер 63, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.63. Постройте угол АВС, равный 70°. Отметьте точку N, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через точку N прямые, параллельные сторонам угла АВС. Измерьте угол N.

П.63

$\angle \mathrm{АВС} = 70°, \angle \mathrm{N} = 70° \mathrm{или} \angle \mathrm{N} = 110°$

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольный луч с началом в точке B. Обозначим на нем точку A. Получили луч BA.
2. Прикладываем транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой B, а нулевая отметка на шкале лежала на луче BA.
3. Находим на шкале транспортира отметку $70^\circ$ и ставим в этом месте точку C.
4. Проводим луч BC. Полученный угол $\angle ABC$ является искомым, его величина равна $70^\circ$.
5. Выбираем любую точку N, которая не лежит ни на луче BA, ни на луче BC. Например, внутри угла.
6. Через точку N проводим прямую $n_1$, параллельную прямой, содержащей сторону BA. Это можно сделать с помощью линейки и угольника или с помощью циркуля и линейки, построив равные соответственные углы.
7. Аналогично через точку N проводим прямую $n_2$, параллельную прямой, содержащей сторону BC.
8. Прямые $n_1$ и $n_2$ пересекаются в точке N и образуют четыре угла. Мы будем рассматривать угол, стороны которого сонаправлены сторонам угла $\angle ABC$. Обозначим его $\angle N$.

Измерение и обоснование

Приложив транспортир к углу, образованному в точке N, мы получим измерение, равное $70^\circ$. Это можно доказать геометрически.

Существует теорема об углах с соответственно параллельными сторонами: если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

В нашем случае стороны угла $\angle N$ по построению параллельны сторонам угла $\angle ABC$. Пусть лучи, образующие угол $\angle N$, сонаправлены лучам BA и BC. Тогда, по теореме, эти углы равны.

Докажем это более строго. Пусть прямая $n_2$ (которая параллельна BC) пересекает прямую AB в точке K.

• Рассмотрим параллельные прямые BA и $n_1$ и секущую $n_2$. Углы, образованные в точках K и N, будут соответственными, накрест лежащими или односторонними.
• Рассмотрим параллельные прямые BC и $n_2$ и секущую AB. Угол $\angle ABC$ и угол $\angle BKN$ являются соответственными углами. Следовательно, $\angle BKN = \angle ABC = 70^\circ$.
• Теперь рассмотрим параллельные прямые AB (содержащую луч BA) и $n_1$ и секущую $n_2$ (которая проходит через точки K и N). Угол $\angle BKN$ и угол $\angle N$ также являются соответственными. Следовательно, $\angle N = \angle BKN$.
• Из двух полученных равенств следует, что $\angle N = \angle ABC = 70^\circ$.

В зависимости от того, какой из четырех углов при вершине N измерять, можно получить и смежный с ним угол, равный $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Однако, как правило, под "углом N" в данном контексте подразумевается тот, что равен исходному.

Ответ: Угол N равен $70^\circ$.