Номер 54, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.54. Проведите окружность с центром в точке 0(0; −4) радиусом 5 единичных отрезков. Используя рисунок, запишите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

П.54

(0; -9), (0; 1), (3; 0), (-3; 0) – точки пересечения с осями координат

Для решения задачи сначала запишем уравнение окружности, а затем найдём её точки пересечения с осями координат. Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Согласно условию, центр окружности находится в точке $O(0; -4)$, а её радиус $R$ равен 5 единичным отрезкам. Подставим эти значения в общую формулу:

$(x - 0)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$

Упростив, получаем уравнение нашей окружности:

$x^2 + (y + 4)^2 = 25$

Далее, найдём координаты точек пересечения этой окружности с каждой из координатных осей.

Любая точка, лежащая на оси Oy, имеет координату $x = 0$. Чтобы найти точки пересечения, подставим $x = 0$ в уравнение окружности:

$0^2 + (y + 4)^2 = 25$

$(y + 4)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $y + 4 = 5 \implies y = 1$

2. $y + 4 = -5 \implies y = -9$

Таким образом, окружность пересекает ось Oy в двух точках с координатами $(0; 1)$ и $(0; -9)$.

Геометрически (используя рисунок) это можно объяснить так: центр окружности $(0; -4)$ уже лежит на оси Oy. Точки пересечения будут находиться на этой же оси на расстоянии радиуса (5 единиц) выше и ниже центра. Их ординаты равны: $y_1 = -4 + 5 = 1$ и $y_2 = -4 - 5 = -9$.

Любая точка, лежащая на оси Ox, имеет координату $y = 0$. Подставим $y = 0$ в уравнение окружности:

$x^2 + (0 + 4)^2 = 25$

$x^2 + 16 = 25$

$x^2 = 25 - 16$

$x^2 = 9$

Решая это уравнение, находим два значения для $x$:

$x = 3$ и $x = -3$

Следовательно, окружность пересекает ось Ox в двух точках с координатами $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.

Геометрически (используя рисунок), можно рассмотреть прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус окружности ($R = 5$), одним катетом — расстояние от центра окружности до оси Ox (равное $|-4|=4$), а вторым катетом — расстояние от начала координат до точки пересечения (абсцисса $x$). По теореме Пифагора:

$x^2 + 4^2 = 5^2 \implies x^2 + 16 = 25 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Таким образом, окружность пересекает оси координат в четырех точках.

Ответ: Координаты точек пересечения окружности с осями координат: с осью Oy — $(0; 1)$ и $(0; -9)$; с осью Ox — $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.