Номер 23.38, страница 110 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.38. Докажите, что значение выражения является целым числом:

a) $ \sqrt{(3-\sqrt{11})^2} + \sqrt{(4-\sqrt{11})^2} $;

б) $ \sqrt{(4-3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5-3\sqrt{2})^2} $.

а)

Для доказательства воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:
$\sqrt{(3 - \sqrt{11})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{11})^2} = |3 - \sqrt{11}| + |4 - \sqrt{11}|$.

Чтобы раскрыть модули, нужно определить знак выражений под ними.

1. Сравним $3$ и $\sqrt{11}$. Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Так как $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$. Следовательно, выражение $3 - \sqrt{11}$ отрицательно. По определению модуля: $|3 - \sqrt{11}| = -(3 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3$.

2. Сравним $4$ и $\sqrt{11}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Так как $16 > 11$, то $4 > \sqrt{11}$. Следовательно, выражение $4 - \sqrt{11}$ положительно. По определению модуля: $|4 - \sqrt{11}| = 4 - \sqrt{11}$.

Подставим полученные значения в выражение и упростим его:
$(\sqrt{11} - 3) + (4 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3 + 4 - \sqrt{11} = 1$.

Значение выражения равно 1, что является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

б)

Аналогично пункту а), используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} = |4 - 3\sqrt{2}| + |5 - 3\sqrt{2}|$.

Определим знак выражений под модулем.

1. Сравним $4$ и $3\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Так как $16 < 18$, то $4 < 3\sqrt{2}$. Следовательно, выражение $4 - 3\sqrt{2}$ отрицательно. По определению модуля: $|4 - 3\sqrt{2}| = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$.

2. Сравним $5$ и $3\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(3\sqrt{2})^2 = 18$. Так как $25 > 18$, то $5 > 3\sqrt{2}$. Следовательно, выражение $5 - 3\sqrt{2}$ положительно. По определению модуля: $|5 - 3\sqrt{2}| = 5 - 3\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение и упростим:
$(3\sqrt{2} - 4) + (5 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4 + 5 - 3\sqrt{2} = 1$.

Значение выражения равно 1, что является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.