Номер 23.39, страница 110 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.39. Упростите выражение:

а) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} - 2\sqrt{5};$

б) $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2} - 2\sqrt{11}.$

а) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} - 2\sqrt{5}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применим это свойство к первому члену выражения:

$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения под знаком модуля, то есть $2-\sqrt{5}$. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Сравним их квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$. Это означает, что разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Следовательно:

$|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sqrt{5} - 2) - 2\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 2 = (1-2)\sqrt{5} - 2 = -\sqrt{5} - 2$.

Ответ: $-2-\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2} - 2\sqrt{11}$

Аналогично пункту а), используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(3-\sqrt{11})^2} = |3-\sqrt{11}|$.

Определим знак выражения $3-\sqrt{11}$. Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{11}$ путем сравнения их квадратов:

$3^2 = 9$

$(\sqrt{11})^2 = 11$

Так как $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$. Следовательно, разность $3-\sqrt{11}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль отрицательного числа:

$|3-\sqrt{11}| = -(3-\sqrt{11}) = -3 + \sqrt{11} = \sqrt{11} - 3$.

Подставляем полученное значение обратно в исходное выражение:

$(\sqrt{11} - 3) - 2\sqrt{11}$

Упрощаем, приводя подобные слагаемые:

$\sqrt{11} - 2\sqrt{11} - 3 = (1-2)\sqrt{11} - 3 = -\sqrt{11} - 3$.

Ответ: $-3-\sqrt{11}$.