Номер 23.46, страница 111 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.46*. Найдите значение выражения $(2\sqrt{3} - \sqrt{21})\sqrt{\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}}$.

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним преобразования по шагам.

1. Упростим выражение под знаком корня $\sqrt{\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}}$. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})$:

$\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})}{(\sqrt{21} - 2\sqrt{3})(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})^2}{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2}$

2. Вычислим значение знаменателя, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 21 - 4 \cdot 3 = 21 - 12 = 9$.

3. Таким образом, дробь под корнем равна $\frac{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})^2}{9}$. Подставим это обратно в выражение:

$(2\sqrt{3} - \sqrt{21}) \sqrt{\frac{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})^2}{9}}$

4. Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})^2}{9}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{21} + 2\sqrt{3})^2}}{\sqrt{9}} = \frac{|\sqrt{21} + 2\sqrt{3}|}{3}$

Так как $\sqrt{21}$ и $2\sqrt{3}$ — положительные числа, их сумма также положительна, поэтому модуль можно убрать: $\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}$.

5. Теперь все выражение принимает вид:

$(2\sqrt{3} - \sqrt{21}) \cdot \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}$

6. Переставим слагаемые во втором множителе и применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(2\sqrt{3} - \sqrt{21})(2\sqrt{3} + \sqrt{21})}{3} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{21})^2}{3} = \frac{12 - 21}{3} = \frac{-9}{3} = -3$.

Ответ: -3