Номер 23.50, страница 112 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.50*. Упростите выражение:

a) $\sqrt{17+12\sqrt{2}}$;

б) $\sqrt{28+16\sqrt{3}}$.

a) Для упрощения выражения $\sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$ необходимо представить подкоренное выражение $17 + 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия:

1) $a^2+b^2 = 17$

2) $2ab = 12\sqrt{2}$

Из второго уравнения находим $ab = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$.

Теперь попробуем подобрать такие $a$ и $b$. Например, если $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$, то их произведение равно $3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для них первое условие:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.

Оба условия выполняются. Следовательно, подкоренное выражение можно записать как квадрат суммы:

$17 + 12\sqrt{2} = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = |3 + 2\sqrt{2}|$.

Поскольку выражение $3 + 2\sqrt{2}$ является положительным, модуль можно опустить.

$\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$

б) Для упрощения выражения $\sqrt{28 + 16\sqrt{3}}$ воспользуемся тем же методом. Представим подкоренное выражение $28 + 16\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Нам нужно найти числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:

1) $a^2+b^2 = 28$

2) $2ab = 16\sqrt{3}$

Из второго уравнения получаем $ab = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$.

Подберем значения для $a$ и $b$. Пусть $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$. Их произведение равно $4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. Проверим, выполняется ли первое условие для этих значений:

$a^2 + b^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$.

Оба условия выполнены. Значит, подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$28 + 16\sqrt{3} = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = (4 + 2\sqrt{3})^2$.

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{28 + 16\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})^2} = |4 + 2\sqrt{3}|$.

Так как $4 + 2\sqrt{3} > 0$, знак модуля можно убрать.

$\sqrt{28 + 16\sqrt{3}} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$