Номер 3, страница 139 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

3. Как доказать, что размеры предмета и изображения в плоском зеркале равны?

Доказать, что размеры предмета и его изображения в плоском зеркале равны, можно с помощью законов геометрической оптики. Для этого необходимо показать, что расстояние между любыми двумя точками предмета равно расстоянию между их изображениями. Это гарантирует, что изображение является точной копией предмета по размерам и форме.

Решение

Рассмотрим произвольный предмет. Мысленно представим его как совокупность большого числа точек. Если мы докажем, что расстояние между любыми двумя точками предмета сохраняется и для их изображений, то мы докажем, что размеры предмета и изображения равны.

Введем декартову систему координат для математического описания. Пусть плоскость зеркала совпадает с координатной плоскостью Oxy. Ось Oz, соответственно, будет перпендикулярна плоскости зеркала.

Возьмем две произвольные точки предмета: точку A с координатами $(x_A, y_A, z_A)$ и точку B с координатами $(x_B, y_B, z_B)$. Так как предмет находится перед зеркалом, будем считать, что их z-координаты положительны ($z_A > 0, z_B > 0$).

Расстояние $L$ между точками A и B определяется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$L_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Согласно правилам построения изображения в плоском зеркале, изображение каждой точки (например, A') симметрично самой точке (A) относительно плоскости зеркала. Это означает, что координаты изображения A' получаются изменением знака координаты, перпендикулярной зеркалу (в нашем случае, координаты z), на противоположный. Координаты x и y при этом не изменяются.

Таким образом, координаты точки A' (изображения точки A) будут $(x_A, y_A, -z_A)$.

Аналогично, координаты точки B' (изображения точки B) будут $(x_B, y_B, -z_B)$.

Теперь вычислим расстояние $L'$ между точками изображения A' и B':

$L'_{A'B'} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (-z_B - (-z_A))^2}$

Упростим последнее слагаемое под корнем:

$(-z_B - (-z_A))^2 = (-z_B + z_A)^2 = (z_A - z_B)^2$

Важно отметить, что $(z_A - z_B)^2 = (z_B - z_A)^2$.

Подставив упрощенное выражение обратно в формулу для $L'$, получаем:

$L'_{A'B'} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Сравнив полученную формулу для расстояния между изображениями $L'_{A'B'}$ с исходной формулой для расстояния между точками предмета $L_{AB}$, мы видим, что они полностью совпадают:

$L_{AB} = L'_{A'B'}$

Так как A и B были выбраны как произвольные точки предмета, это доказательство справедливо для любой пары точек. Следовательно, все размеры предмета сохраняются в его изображении, и изображение является конгруэнтным предмету.

Ответ: Равенство размеров предмета и его изображения в плоском зеркале доказывается на основе принципа симметрии. Если расположить систему координат так, что плоскость зеркала совпадает с одной из координатных плоскостей (например, Oxy), то координаты $(x, y, z)$ любой точки предмета переходят в координаты $(x, y, -z)$ для соответствующей точки изображения. Применение формулы расстояния между двумя произвольными точками предмета и двумя соответствующими точками изображения показывает, что эти расстояния равны. Это означает, что изображение является точной копией предмета по размерам.