Номер 27.1, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.1. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точках пересечения графика с осью абсцисс:

а) $f(x) = x^3 + \sqrt{3}x^2$;

б) $f(x) = x^2 - x$.

Чтобы найти угол наклона касательной к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс, необходимо сначала найти эти точки, решив уравнение $f(x) = 0$. Затем, зная, что тангенс угла наклона касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$, мы находим производную и вычисляем ее значения в найденных точках пересечения. После этого находим сами углы.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + \sqrt{3}x^2$.

Сначала найдем точки пересечения ее графика с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 + \sqrt{3}x^2 = 0$
$x^2(x + \sqrt{3}) = 0$
Таким образом, точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Теперь найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 + \sqrt{3}x^2)' = 3x^2 + 2\sqrt{3}x$.

Вычислим значения производной в точках $x_1$ и $x_2$, чтобы найти тангенсы углов наклона касательных.
В точке $x_1 = 0$:
$\tan(\alpha_1) = f'(0) = 3(0)^2 + 2\sqrt{3}(0) = 0$.
Угол наклона $\alpha_1 = \arctan(0)$, что равно $0^\circ$.
В точке $x_2 = -\sqrt{3}$:
$\tan(\alpha_2) = f'(-\sqrt{3}) = 3(-\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}(-\sqrt{3}) = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.
Угол наклона $\alpha_2 = \arctan(3)$.

а) Ответ: в точке с абсциссой $x = 0$ угол наклона касательной равен $0^\circ$; в точке с абсциссой $x = -\sqrt{3}$ угол наклона равен $\arctan(3)$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - x$.

Найдем точки пересечения ее графика с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - x)' = 2x - 1$.

Вычислим тангенсы углов наклона касательных в этих точках.
В точке $x_1 = 0$:
$\tan(\alpha_1) = f'(0) = 2(0) - 1 = -1$.
Угол наклона $\alpha_1 = \arctan(-1)$. Учитывая, что угол наклона к оси абсцисс находится в диапазоне $[0^\circ, 180^\circ)$, получаем $\alpha_1 = 135^\circ$.
В точке $x_2 = 1$:
$\tan(\alpha_2) = f'(1) = 2(1) - 1 = 1$.
Угол наклона $\alpha_2 = \arctan(1) = 45^\circ$.

б) Ответ: в точке с абсциссой $x = 0$ угол наклона касательной равен $135^\circ$; в точке с абсциссой $x = 1$ угол наклона равен $45^\circ$.