Номер 26.12, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.12. Найдите число корней уравнения $f(x)=0$, принадлежащих промежутку $[\frac{\pi}{4}; 2\pi]$, если $f(x)=\sqrt{3x}+\cos{2x}+\sqrt{\pi}$.

Для того чтобы найти число корней уравнения $f(x) = 0$ на промежутке $[\frac{\pi}{4}; 2\pi]$, мы исследуем функцию $f(x) = \sqrt{3}x + \cos(2x) + \sqrt{\pi}$ на монотонность, используя её производную.

Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{3}x + \cos(2x) + \sqrt{\pi})' = \sqrt{3} - 2\sin(2x)$.

Далее найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Это точки, в которых функция может менять направление своего роста или убывания.

$f'(x) = 0 \implies \sqrt{3} - 2\sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам необходимо найти решения, принадлежащие заданному промежутку $x \in [\frac{\pi}{4}; 2\pi]$. Для этого определим, в каком интервале находится аргумент $2x$:

$x \in [\frac{\pi}{4}; 2\pi] \implies 2x \in [2 \cdot \frac{\pi}{4}; 2 \cdot 2\pi] \implies 2x \in [\frac{\pi}{2}; 4\pi]$.

Общие решения уравнения $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют вид $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Отберём те значения $t=2x$, которые попадают в промежуток $[\frac{\pi}{2}; 4\pi]$:

Из первой серии решений подходит $t = \frac{7\pi}{3}$ (при $k=1$).

Из второй серии решений подходят $t = \frac{2\pi}{3}$ (при $k=0$) и $t = \frac{8\pi}{3}$ (при $k=1$).

Таким образом, критические точки для $x$ на заданном промежутке:

$x_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

$x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$

$x_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Анализируя знак производной $f'(x)$ на интервалах, образованных этими точками, устанавливаем промежутки монотонности функции. Функция убывает, когда $f'(x) < 0$ (т.е. $\sin(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$), и возрастает, когда $f'(x) > 0$ (т.е. $\sin(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$).

На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ функция убывает. В точке $x=\frac{\pi}{3}$ находится локальный минимум.
На промежутке $[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{6}]$ функция возрастает. В точке $x=\frac{7\pi}{6}$ находится локальный максимум.
На промежутке $[\frac{7\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}]$ функция убывает. В точке $x=\frac{4\pi}{3}$ находится локальный минимум.
На промежутке $[\frac{4\pi}{3}; 2\pi]$ функция возрастает.

Чтобы найти, пересекает ли график функции ось $x$, необходимо определить знак наименьшего значения функции на отрезке. Наименьшее значение может достигаться либо на концах отрезка, либо в точках локального минимума. Так как на левой границе $x=\frac{\pi}{4}$ функция начинает убывать, а к правой границе $x=2\pi$ возрастает, глобальный минимум будет в одной из точек локального минимума: $x=\frac{\pi}{3}$ или $x=\frac{4\pi}{3}$.

Найдём значения функции в этих точках:

$f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} + \cos(\frac{2\pi}{3}) + \sqrt{\pi} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} + \sqrt{\pi}$.

$f(\frac{4\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{4\pi}{3} + \cos(\frac{8\pi}{3}) + \sqrt{\pi} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} + \sqrt{\pi}$.

Сравнивая эти два значения, видим, что $f(\frac{4\pi}{3}) > f(\frac{\pi}{3})$, поскольку $\frac{4\pi}{\sqrt{3}} > \frac{\pi}{\sqrt{3}}$. Следовательно, наименьшее значение функции на всём отрезке достигается в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Оценим знак этого значения: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} + \sqrt{\pi}$. Используя известные приближения $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\sqrt{\pi} \approx 1.77$, получаем:

$f(\frac{\pi}{3}) \approx \frac{3.14}{1.73} - 0.5 + 1.77 \approx 1.815 - 0.5 + 1.77 = 3.085$.

Более строгая оценка: $\pi > 3$, поэтому $\frac{\pi}{\sqrt{3}} > \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} > 1.7$ и $\sqrt{\pi} > \sqrt{3} > 1.7$. Тогда $f(\frac{\pi}{3}) > 1.7 - 0.5 + 1.7 = 2.9 > 0$.

Поскольку минимальное значение функции на заданном промежутке строго положительно, функция $f(x)$ никогда не обращается в ноль на этом промежутке. Таким образом, уравнение $f(x)=0$ не имеет корней на отрезке $[\frac{\pi}{4}; 2\pi]$.

Ответ: 0.