Номер 26.9, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.9. Найдите наименьший положительный корень уравнения $f'(x) = 0$,

если $f(x) = 3 + \sin(\pi + x) - 2\cos\frac{5\pi + x}{2}$.

26.9.

Для того чтобы найти наименьший положительный корень уравнения $f'(x) = 0$, сначала необходимо упростить данную функцию $f(x) = 3 + \sin(\pi + x) - 2\cos\frac{5\pi + x}{2}$, а затем найти её производную.

1. Упростим функцию $f(x)$, используя тригонометрические формулы приведения:

• $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ (синус отрицателен в III четверти)
• $\cos\frac{5\pi + x}{2} = \cos(\frac{4\pi}{2} + \frac{\pi + x}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi + x}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = -\sin(\frac{x}{2})$ (по формуле приведения)

Подставим упрощенные выражения обратно в функцию:$f(x) = 3 - \sin(x) - 2(-\sin(\frac{x}{2})) = 3 - \sin(x) + 2\sin(\frac{x}{2})$.

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (3 - \sin(x) + 2\sin(\frac{x}{2}))' = 0 - \cos(x) + 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = -\cos(x) + 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\frac{x}{2}) - \cos(x)$.

3. Решим уравнение $f'(x) = 0$:$\cos(\frac{x}{2}) - \cos(x) = 0$$\cos(\frac{x}{2}) = \cos(x)$Общее решение уравнения $\cos a = \cos b$ имеет вид $a = \pm b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Применим это к нашему уравнению:$\frac{x}{2} = \pm x + 2\pi k$.

Рассмотрим два случая:

• $\frac{x}{2} = x + 2\pi k \implies -\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = -4\pi k$. Поскольку $k$ - любое целое число, мы можем заменить $-k$ на $m$ и записать серию корней как $x = 4\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
• $\frac{x}{2} = -x + 2\pi k \implies \frac{3x}{2} = 2\pi k \implies x = \frac{4\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Найдем наименьший положительный корень ($x > 0$).

• Из серии $x = 4\pi m$, наименьший положительный корень получается при $m = 1$: $x = 4\pi$.
• Из серии $x = \frac{4\pi k}{3}$, наименьший положительный корень получается при $k = 1$: $x = \frac{4\pi}{3}$.

Сравнивая два наименьших положительных корня из каждой серии, $4\pi$ и $\frac{4\pi}{3}$, мы видим, что наименьшим является $\frac{4\pi}{3}$.

Коэффициент при $\pi$ в ответе представляет собой неправильную дробь $\frac{4}{3}$. Чтобы выделить из нее целую часть, представим ее в виде смешанного числа: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Целая часть равна 1.
Ответ: $\mathbf{1}\frac{1}{3}\pi$