Номер 26.4, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.4. Найдите $f'(x_0)$, если:

а) $f(x) = (8x^2 - 5)^4, x_0 = -1;$

б) $f(x) = \cos2x - \frac{2}{\pi}x^2 - 6, x_0 = \frac{\pi}{4};$

в) $f(x) = \sqrt{19-2x}, x_0 = 2;$

г) $f(x) = \operatorname{tg}3x - \operatorname{ctg}2x, x_0 = \frac{\pi}{12};$

а) Дана функция $f(x) = (8x^2 - 5)^4$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом), согласно которому $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $u^4$, а внутренняя — $8x^2 - 5$.

$f'(x) = 4(8x^2 - 5)^{4-1} \cdot (8x^2 - 5)'$

$f'(x) = 4(8x^2 - 5)^3 \cdot (8 \cdot 2x - 0) = 4(8x^2 - 5)^3 \cdot 16x = 64x(8x^2 - 5)^3$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$, подставив это значение в полученное выражение:

$f'(-1) = 64(-1)(8(-1)^2 - 5)^3 = -64(8 \cdot 1 - 5)^3 = -64(3)^3 = -64 \cdot 27 = -1728$.

Ответ: -1728

б) Дана функция $f(x) = \cos(2x) - \frac{2}{\pi}x^2 - 6$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Находим производную функции как производную суммы (разности) функций. Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности.

$f'(x) = (\cos(2x))' - (\frac{2}{\pi}x^2)' - (6)'$.

Применяем цепное правило для $\cos(2x)$, правило дифференцирования степенной функции для $\frac{2}{\pi}x^2$ и учитываем, что производная константы равна нулю:

$f'(x) = -\sin(2x) \cdot (2x)' - \frac{2}{\pi} \cdot 2x - 0 = -2\sin(2x) - \frac{4}{\pi}x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = -2\sin(\frac{\pi}{2}) - 1$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2(1) - 1 = -3$.

Ответ: -3

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{19 - 2x}$ и точка $x_0 = 2$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = (19 - 2x)^{1/2}$. Для нахождения производной применим цепное правило.

$f'(x) = \frac{1}{2}(19 - 2x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (19 - 2x)' = \frac{1}{2}(19 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2)$.

$f'(x) = - (19 - 2x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{(19 - 2x)^{1/2}} = -\frac{1}{\sqrt{19 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{19 - 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{19 - 4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}}$.

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{15}}$

г) Дана функция $f(x) = \tan(3x) - \cot(2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Находим производную как разность производных, применяя цепное правило для каждой функции.

Производная тангенса $(\tan u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$, производная котангенса $(\cot u)' = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot u'$.

$f'(x) = (\tan(3x))' - (\cot(2x))' = \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot (3x)' - \left(-\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)'\right)$.

$f'(x) = \frac{3}{\cos^2(3x)} + \frac{2}{\sin^2(2x)}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Сначала найдем значения аргументов тригонометрических функций:

$3x_0 = 3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$

$2x_0 = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} + \frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}$.

Используем известные значения: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$f'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{1/2} + \frac{2}{1/4} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$.

Ответ: 14