Номер 26.5, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.5. Найдите значение производной функции $f(x) = \sqrt{5x^2-8x}$ в точке $x = -1$.

Для нахождения значения производной функции $f(x) = \sqrt{5x^2 - 8x}$ в точке $x = -1$, необходимо сначала найти общую формулу производной $f'(x)$, а затем подставить в нее значение $x = -1$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция $h(x) = 5x^2 - 8x$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (5x^2 - 8x)' = 5 \cdot 2x - 8 = 10x - 8$.

Теперь, по цепному правилу, найдем производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} \cdot (10x - 8) = \frac{10x - 8}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} = \frac{2(5x - 4)}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} = \frac{5x - 4}{\sqrt{5x^2 - 8x}}$.

Далее, найдем значение производной в точке $x = -1$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$:

$f'(-1) = \frac{5(-1) - 4}{\sqrt{5(-1)^2 - 8(-1)}} = \frac{-5 - 4}{\sqrt{5 \cdot 1 + 8}} = \frac{-9}{\sqrt{5 + 8}} = \frac{-9}{\sqrt{13}}$.

Полученное значение является неправильной дробью, так как модуль числителя $|-9| = 9$ больше модуля знаменателя $|\sqrt{13}| \approx 3.6$. Для выделения целой части представим число в виде смешанной дроби. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{-9}{\sqrt{13}} = \frac{-9 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = -\frac{9\sqrt{13}}{13}$.

Значение этой дроби приблизительно равно $-2.496$. Целая часть данного числа равна $-2$. Дробная часть в записи отрицательного смешанного числа будет: $\frac{9\sqrt{13}}{13} - 2 = \frac{9\sqrt{13} - 26}{13}$.

Таким образом, значение производной можно записать в виде смешанной дроби, выделив целую часть.

26.5. Ответ: $-2\frac{9\sqrt{13}-26}{13}$