Номер 25.8, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.8. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 15t - 7$ (путь измеряется в метрах, время — в секундах).

Найдите, в какой момент времени точка имеет наименьшую скорость, и определите ее.

Закон движения материальной точки задан уравнением $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 15t - 7$.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от пути по времени $s'(t)$.

Найдем функцию скорости, продифференцировав $s(t)$ по $t$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{t^3}{3} - 3t^2 + 15t - 7\right)' = t^2 - 6t + 15$.

Для нахождения наименьшей скорости необходимо найти минимум функции $v(t)$. График этой квадратичной функции — парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($a=1 > 0$). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость

Абсцисса вершины параболы $at^2+bt+c$ (в данном случае время $t$) находится по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $v(t) = t^2 - 6t + 15$ имеем коэффициенты $a=1$ и $b=-6$.

Подставляем значения и находим время:

$t = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ с.

Ответ: 3 с.

Определите ее (наименьшую скорость)

Для определения значения наименьшей скорости подставим найденный момент времени $t=3$ в уравнение скорости $v(t)$:

$v_{наим} = v(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6$ м/с.

Ответ: 6 м/с.